【新高考复习】6 第6讲　对数与对数函数　新题培优练

[基础题组练]1．(2019·惠州模拟)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，f(2)·g(2)＜0，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象是()解析：选A.由题意知f(x)＝ax－2是指数型函数，g(x)＝loga|x|是对数型函数，且是一个偶函数，由f(2)g(2)＜0，可得g(2)＜0，故loga2＜0，故0＜a＜1，由此可以确定C、D两选项不正确，且f(x)＝ax－2是一个减函数，由此可知B选项不正确，A选项正确，故选A.2．(2019·河南新乡一模)若log2(log3a)＝log3(log4b)＝log4(log2c)＝1，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．bacC．acbD．bca解析：选D.由log2(log3a)＝1，可得log3a＝2，lga＝2lg3，故a＝32＝9；由log3(log4b)＝1，可得log4b＝3，lgb＝3lg4，故b＝43＝64；由log4(log2c)＝1，可得log2c＝4，lgc＝4lg2，故c＝24＝16.所以bca.故选D.3．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是()A．f(a＋1)f(2)B．f(a＋1)f(2)C．f(a＋1)＝f(2)D．不能确定解析：选A.由已知得0a1，所以1a＋12，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)f(2)．4．(2019·高考天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．acbB．abcC．bcaD．cab解析：选A.a＝log52log55＝12，而c＝0.50.20.51＝12，故ac；b＝log0.50.2log0.50.25＝2，而c＝0.50.20.50＝1，故cb.所以acb.5．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为()A．[1，2)B．[1，2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选A.令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有g（1）0，a≥1，即2－a0，a≥1，解得1≤a2，即a∈[1，2)．故选A.6．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是()A．0a1B．0a2，a≠1C．1a2D．a≥2解析：选C.当a1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ0，即a2－40，所以2a1.当0a1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.7．(2019·广州市综合检测(一))已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则f12＝________．解析：由f(2)＝8＋alog32＝6，解得a＝－2log32，所以f12＝18＋alog312＝18－alog32＝18＋2log32×log32＝178.答案：1788．已知2x＝72y＝A，且1x＋1y＝2，则A的值是________．解析：由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝12log7A，则1x＋1y＝1log2A＋2log7A＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.又A0，故A＝98＝72.答案：729．若函数f(x)＝logax(0a1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________．解析：因为0a1，所以函数f(x)是定义域上的减函数，所以f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga2a，所以1＝3loga2a⇒a＝(2a)3⇒8a2＝1⇒a＝24.答案：2410．已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则nm＝________．解析：因为f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足mn，且f(m)＝f(n)，所以－log3m＝log3n，所以mn＝1.因为f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2，1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，所以－log3m2＝2或log3n＝2.若－log3m2＝2，得m＝13，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意．那么nm＝3÷13＝9.同理．若log3n＝2，得n＝9，则m＝19，此时－log3m2＝42，不满足题意．综上可得nm＝9.答案：911．已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)．(1)求a的值；(2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g(x)的单调减区间．解：(1)函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)，可得loga4＝2，解得a＝2.(2)g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝log2(1－x2)，由1－x＞0且1＋x＞0，解得－1＜x＜1，可得g(x)的定义域为(－1，1)．(3)g(x)＝log2(1－x2)，由t＝1－x2在(－1，0)上单调递增，(0，1)上单调递减，且y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，可得函数g(x)的单调减区间为(0，1)．12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x0时，f(x)＝log12x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)－2.解：(1)当x0时，－x0，则f(－x)＝log12(－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以x0时，f(x)＝log12(－x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝log12x，x0，0，x＝0，log12（－x），x0.(2)因为f(4)＝log124＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)－2可化为f(|x2－1|)f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0|x2－1|4，解得－5x5且x≠±1，而x2－1＝0时，f(0)＝0－2，所以－5x5.[综合题组练]1．(2019·济南模拟)若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则()A．2x＜3y＜5zB．5z＜3y＜2xC．3y＜2x＜5zD．5z＜2x＜3y解析：选B.设log2x＝log3y＝log5z＝t，则t＜－1,x＝2t,y＝3t,z＝5t,因此2x＝2t＋1，3y＝3t＋1，5z＝5t＋1.又t＜－1，所以t＋1＜0，由幂函数y＝xt＋1的单调性可知5z＜3y＜2x.2．(应用型)(2019·黄石模拟)已知x1＝log132，x2＝2－12，x3满足13x3＝log3x3，则()A．x1x2x3B．x1x3x2C．x2x1x3D．x3x1x2解析：选A.由题意可知x3是函数y1＝13x与y2＝log3x的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y1＝13x与y2＝log3x的图象，如图所示，由图象可知x31，而x1＝log1320，0x2＝2－121，所以x3x2x1.故选A.3．(应用型)设函数f(x)＝|logax|(0a1)的定义域为[m，n](mn)，值域为[0，1]，若n－m的最小值为13，则实数a的值为________．解析：作出y＝|logax|(0＜a＜1)的大致图象如图，令|logax|＝1.得x＝a或x＝1a，又1－a－1a－1＝1－a－1－aa＝（1－a）（a－1）a＜0，故1－a＜1a－1，所以n－m的最小值为1－a＝13，a＝23.答案：234．已知函数f(x)＝lgx＋ax－2，其中x0，a0.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)0，试确定a的取值范围．解：(1)由x＋ax－20，得x2－2x＋ax0.因为x0，所以x2－2x＋a0.当a1时，定义域为(0，＋∞)；当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；当0a1时，定义域为(0，1－1－a)∪(1＋1－a，＋∞)．(2)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)0，即x＋ax－21对x∈[2，＋∞)恒成立，即a－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需ah(x)max.而h(x)＝－x2＋3x＝－x－322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a2.