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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 【新高考复习】8 第8讲 函数与方程 新题培优练
[基础题组练]1.(2019·沧州模拟)设f(x)是区间[-1,1]上的增函数,且f-12·f12<0,则方程f(x)=0在区间[-1,1]内()A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根解析:选C.因为f(x)在区间[-1,1]上是增函数,且f-12·f12<0,所以f(x)在区间-12,12上有唯一的零点.所以方程f(x)=0在区间[-1,1]内有唯一的实数根.2.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1]B.[1,2]C.[-2,-1]D.[-1,0]解析:选D.因为f(x)=3x-x2,所以f(-1)=3-1-1=-23<0,f(0)=30-0=1>0,所以f(-1)·f(0)<0.3.(一题多解)(2019·南宁模拟)设函数f(x)=lnx-2x+6,则f(x)零点的个数为()A.3B.2C.1D.0解析:选B.法一:函数f(x)=lnx-2x+6的定义域为(0,+∞).f′(x)=1x-2=1-2xx,令f′(x)=0,得x=12,当0<x<12时,f′(x)>0,当x>12时,f′(x)<0,所以函数f(x)在0,12上单调递增,在12,+∞上单调递减.因为f1e10=-4-2e10<0,f12=5-ln2>0,f(e2)=8-2e2<0,所以函数f(x)在1e10,12,12,e2上各有一个零点,所以函数f(x)的零点个数为2,故选B.法二:令f(x)=0,则lnx=2x-6,令g(x)=lnx,h(x)=2x-6(x>0),在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,如图所示,两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数,容易看出函数f(x)零点的个数为2,故选B.4.已知函数f(x)=15x-log3x,若x0是函数y=f(x)的零点,且0<x1<x0,则f(x1)的值()A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0解析:选A.因为函数f(x)=15x-log3x在(0,+∞)上是减函数,所以当0<x1<x0时,有f(x1)>f(x0).又x0是函数f(x)的零点,因此f(x0)=0,所以f(x1)>0,即此时f(x1)的值恒为正值,故选A.5.已知函数f(x)=0,x≤0,ex,x>0,则使函数g(x)=f(x)+x-m有零点的实数m的取值范围是()A.[0,1)B.(-∞,1)C.(-∞,1]∪(2,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞)解析:选D.函数g(x)=f(x)+x-m的零点就是方程f(x)+x=m的根,画出h(x)=f(x)+x=x,x≤0,ex+x,x>0的大致图象(图略).观察它与直线y=m的交点,得知当m≤0或m>1时,有交点,即函数g(x)=f(x)+x-m有零点.6.(2019·江西八所重点中学联考)已知f(x)=12|x|(x≤1)-x2+4x-2(x>1),若关于x的方程a=f(x)恰有两个不同的实根,则实数a的取值范围是()A.-∞,12∪[1,2)B.0,12∪[1,2)C.(1,2)D.[1,2)解析:选B.关于x的方程a=f(x)恰有两个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=a恰有两个不同的交点,作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可得实数a的取值范围是0,12∪[1,2),故选B.7.(2019·河南郑州质检)已知函数f(x)=12x-cosx,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________.解析:如图,作出g(x)=12x与h(x)=cosx的图象,可知其在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3.答案:38.函数f(x)=12|x-1|+2cosπx(-4≤x≤6)的所有零点之和为________.解析:可转化为两个函数y=12|x-1|与y=-2cosπx在[-4,6]上的交点的横坐标的和,因为两个函数均关于x=1对称,所以两个函数在x=1两侧的交点对称,则每对对称点的横坐标的和为2,分别画出两个函数的图象易知两个函数在x=1两侧分别有5个交点,所以5×2=10.答案:109.若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是________.解析:依题意,结合函数f(x)的图象分析可知m需满足m≠2,f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,即m≠2,[m-2-m+(2m+1)](2m+1)<0,[m-2+m+(2m+1)][4(m-2)+2m+(2m+1)]<0,解得14<m<12.答案:14,1210.已知函数f(x)=-x2-2x+3,x≤1,lnx,x>1,若关于x的方程f(x)=kx-12恰有4个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________.解析:若关于x的方程f(x)=kx-12恰有4个不相等的实数根,则f(x)的图象和直线y=kx-12有4个交点.作出函数f(x)的图象,如图,故点(1,0)在直线y=kx-12的下方.所以k·1-12>0,解得k>12.当直线y=kx-12和y=lnx相切时,设切点横坐标为m,则k=lnm+12m=1m,所以m=e.此时,k=1m=ee,f(x)的图象和直线y=kx-12有3个交点,不满足条件,故要求的k的取值范围是12,ee.答案:12,ee11.设函数f(x)=1-1x(x0).(1)作出函数f(x)的图象;(2)当0ab,且f(a)=f(b)时,求1a+1b的值;(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.解:(1)如图所示.(2)因为f(x)=1-1x=1x-1,x∈(0,1],1-1x,x∈(1,+∞),故f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数,由0ab且f(a)=f(b),得0a1b,且1a-1=1-1b,所以1a+1b=2.(3)由函数f(x)的图象可知,当0m1时,方程f(x)=m有两个不相等的正根.12.已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=x+14x,x0,x+1,x≤0.(1)求g(f(1))的值;(2)若方程g(f(x))-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.解:(1)利用解析式直接求解得g(f(1))=g(-3)=-3+1=-2.(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)内有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t1)的图象(图略),由图象可知,当1≤a54时,函数y=g(t)(t1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是1,54.[综合题组练]1.(应用型)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.a>b>cD.c>a>b解析:选B.f(x)=2x+x的零点a为函数y=2x与y=-x图象的交点的横坐标,由图象(图略)可知a<0,g(x)=log2x+x的零点b为函数y=log2x与y=-x图象的交点的横坐标,由图象(图略)知b>0,令h(x)=0,得c=0.故选B.2.(创新型)(2019·兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是()A.14B.18C.-78D.-38解析:选C.因为函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,所以方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有一个实数根,又奇函数f(x)是定义在R上的单调函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(2x2+1)+f(λ-x)=0⇔f(2x2+1)=-f(λ-x)⇔f(2x2+1)=f(x-λ)⇔2x2+1=x-λ,所以方程2x2-x+1+λ=0只有一个实数根,所以Δ=(-1)2-4×2×(1+λ)=0,解得λ=-78.故选C.3.(应用型)(2019·甘肃一模)已知定义在R上的函数y=f(x)对任意的x都满足f(x+2)=f(x),当-1≤x<1时,f(x)=sinπ2x,若函数g(x)=f(x)-loga|x|至少有6个零点,则a的取值范围是()A.0,15∪(5,+∞)B.0,15∪[5,+∞)C.17,15∪(5,7)D.17,15∪[5,7)解析:选A.当a>1时,作出函数f(x)与函数y=loga|x|的图象,如图所示.结合图象可知,loga|-5|<1,loga|5|<1,故a>5;当0<a<1时,作出函数f(x)与函数y=loga|x|的图象,如图所示.结合图象可知,loga|-5|≥-1,loga|5|≥-1,故0<a≤15.故选A.4.设函数f(x)=x+1x-1,x∈R且x≠1.(1)求f110+f18+f16+f14+f(4)+f(6)+f(8)+f(10)的值;(2)就m的取值情况,讨论关于x的方程f(x)+x=m在x∈[2,3]上解的个数.解:(1)根据题意,函数f(x)=x+1x-1,则f1x=1x+11x-1=1+x1-x=-1+xx-1,则f(x)+f1x=0,则f110+f18+f16+f14+f(4)+f(6)+f(8)+f(10)=f110+f(10)+f18+f(8)+f16+f(6)+f14+f(4)=0.(2)根据题意,设g(x)=f(x)+x=x+1x-1+x=(x-1)+2x-1+2,令t=x-1,又由x∈[2,3],则t∈[1,2],则设h(t)=t+2t+2,有h′(t)=1-2t2=t2-2t2,分析可得:在区间[1,2]上,h(t)单调递减,在区间[2,2]上,h(t)单调递增;则h(t)在[1,2]有最小值h(2)=22+2,且h(1)=h(2)=5,则函数h(t)在区间[1,2]上有最大值5,最小值22+2,方程f(x)+x=m的解的个数即为函数g(x)与直线y=m的交点个数,分析可得:当m<22+2时,函数g(x)与直线y=m没有交点,方程f(x)+x=m无解;当m=22+2时,函数g(x)与直线y=m有1个交点,方程f(x)+x=m有1个解;当22+2<m≤5时,函数g(x)与直线y=m有2个交点,方程f(x)+x=m有2个解;当m>5时,函数g(x)与直线y=m没有交点,方程f(x)+x=m无解;综上可得,当m<22+2或m>5时,方程f(x)+x=m无解;当m=22+2时,方程f(x)+x=m有1个解;当22+2<m≤5时方程f(x)+x=m有2个解.
本文标题:【新高考复习】8 第8讲 函数与方程 新题培优练
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