2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念

大一轮复习讲义第四章三角函数、解三角形考试要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.内容索引主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着_____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为_____、_____、_____.按终边位置不同分为_______和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.知识梳理端点正角负角零角象限角2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于_______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.半径长(2)公式角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算弧长公式弧长l＝____扇形面积公式S＝____＝______lr1°＝π180rad；1rad＝________180π°|α|r12lr12|α|r23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝___，cosα＝___，tanα＝_________.yxyx(x≠0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的_______，_______和_______.正弦线余弦线正切线1.总结一下三角函数值在各象限符号为正的规律.提示一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示设点P到原点O的距离为r，微思考则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.()(2)角α＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角.()(3)若sinα＝，则α＝.()(4)－300°角与60°角的终边相同.()π3sinπ7π7×√××基础自测题组二教材改编2.终边落在第一象限角平分线上的角的集合是_______________________.(用角度表示){α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}3.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度.4.若角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1,2)，则sinα－cosα＋tanα＝________.π335－105题组三易错自纠5.(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角√√解析因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°2αk·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°αk·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°αn·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°αn·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角．故选AC.6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝，则y＝________.－3－31010解析因为sinθ＝－310100，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y＝－3.TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋(k∈Z)√9π45π49π4解析与角9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.题型一角及其表示自主演练2.集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是√解析当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.3.设集合M＝，N＝，那么xx＝k2·180°＋45°，k∈Zxx＝k4·180°＋45°，k∈ZA.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N＝∅√解析由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.k2k4解析∵α是第二象限角，4.若角α是第二象限角，则α2是第________象限角.∴π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角.一或三综上，α2是第一或第三象限角.(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.αkαkαk思维升华例1一扇形的圆心角α＝，半径R＝10cm，求该扇形的面积.π3解由已知得α＝π3，R＝10cm，∴S扇形＝12α·R2＝12·π3·102＝50π3(cm2).题型二弧度制及其应用师生共研引申探究解l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)，1.若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.S弓形＝S扇形－S三角形＝50π3－12·R2·sinπ3＝50π3－12·102·32＝50π－7533(cm2).2.若将本例已知条件改为：“扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0R10).所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.应用弧度制解决问题的方法思维升华跟踪训练1(1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为A.120B.240C.360D.480√解析∵圆的直径为16步，∴圆的半径为8步，又∵弧长为30步，∴扇形面积S＝12·8·30＝120(平方步).(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________.518解析设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的527，可得12α2r32πr2＝527，解得α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为lC＝5π6·2r32πr＝518.例2(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P－12，y，则sinα·tanα等于A.－33B.±33C.－32D.±32√题型三三角函数的概念师生共研由OP2＝14＋y2＝1，得y2＝34，y＝±32.方法一当y＝32时，sinα＝32，tanα＝－3，此时，sinα·tanα＝－32.解析设O为坐标原点，当y＝－32时，sinα＝－32，tanα＝3，此时，sinα·tanα＝－32.所以sinα·tanα＝－32.方法二由三角函数定义知，cosα＝－12，sinα＝y，所以sinαtanα＝sinαsinαcosα＝sin2αcosα＝y2－12＝34－12＝－32.(2)若α为第二象限角，则cos2α，cosα2，1sin2α中，其值必为正的有A.0个B.1个C.2个D.3个√解析由题意知，2kπ＋π2α2kπ＋π(k∈Z)，因为kπ＋π4α2kπ＋π2(k∈Z)，则4kπ＋π2α4kπ＋2π(k∈Z)，所以2α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上，所以sin2α0，cos2α可正可负也可为零.所以cosα2可正可负.故选A.所以α2的终边在第一或第三象限，(3)已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，则cosα＝______，tanα＝____________.－64153或－153解析设P(x，y)，由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，解得m＝±5，所以r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，即r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝153.(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置.(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.思维升华跟踪训练2(1)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋1cosα等于A.－15B.3715C.3720D.1315√解析因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sinα＝－45，cosα＝35，所以sinα＋1cosα＝－45＋53＝1315.故选D.(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为A.－12B.－32C.12D.32√解析由题意得点P(－8m，－3)，r＝64m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以m＝12.(3)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角√解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ20，综上可知，θ2为第二象限角.KESHIJINGLIAN课时精练1.给出下列四个命题：①是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确命题的个数为A.1B.2C.3D.412345678910111213141516基础保分练－3π44π3√③中－400°＝－360°－40°，从而③正确.④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确.12345678910111213141516解析①中－3π4是第三象限角，从而①错.②中4π3＝π＋π3，则4π3是第三象限角，从而②正确.2.已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限√12345678910111213141516解析由题意知tanα0，cosα0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限.故选B.123456789101112131415163.若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为A.αα＝k·2π－π4，k∈ZB.αα