【新高考复习】3 第3讲　等比数列及其前n项和　新题培优练

[基础题组练]1．(2019·湖南湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1B．－12C．1或－12D．－1或12解析：选C.当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，a1q2＝7，a1（1－q3）1－q＝21，得q＝－12.综上，q的值是1或－12，故选C.2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()A．135B．100C．95D．80解析：选A.由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32，所以a7＋a8＝40×323＝135.3．等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12B．10C．8D．2＋log35解析：选B.由题a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.4．(一题多解)(2019·湖北武汉联考)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于()A．7B．5C．－5D．－7解析：选D.法一：设数列{an}的公比为q，则由题意得a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，所以q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.法二：由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2.所以q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是()A．13B．12C．11D．10解析：选B.设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn，则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an－1·an＝9，(a1·an)3＝3×9＝33，所以a1·an＝3，又Tn＝a1·a2·…·an－1·an＝an·an－1·…·a2·a1，所以T2n＝(a1·an)n，即7292＝3n，所以n＝12.6．(2019·黄冈模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为32，则S5＝________．解析：设{an}的公比为q(q0)，因为a1a6＝2a3，而a1a6＝a3a4，所以a3a4＝2a3，所以a4＝2.又a4＋2a6＝3，所以a6＝12，所以q＝12，a1＝16，所以S5＝16[1－（12）5]1－12＝31.答案：317．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝________．解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝18.所以a7＋a8＋a9＝18.答案：188．(2019·安徽安庆模拟)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为________．解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λan－2λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：29．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.解：(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，故a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1.因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n－1.(2)由(1)得Sn＝1－λλ－1n.由S5＝3132得1－λλ－15＝3132，即λλ－15＝132.解得λ＝－1.10．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝a4－a13＝12－33＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝b4－a4b1－a1＝20－124－3＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．数列{3n}的前n项和为32n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1－2n1－2＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为32n(n＋1)＋2n－1.[综合题组练]1．(创新型)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝a1（1－27）1－2＝381，解得a1＝3，故选B.2．(应用型)(2019·河南濮阳模拟)设{an}是公比为q的等比数列，|q|1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则q等于()A．－12B.12C．－32D.32解析：选C.{bn}有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中且bn＝an＋1.an＝bn－1，则{an}有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．因为{an}是等比数列，等比数列中有负数项，则q0，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值递增或递减．按绝对值的顺序排列上述数值18，－24，36，－54，81，相邻两项相除－2418＝－43，36－24＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，则可得－24，36，－54，81是{an}中连续的四项．q＝－32或q＝－23(因为|q|1，所以此种情况应舍)，所以q＝－32.故选C.3．在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n项和Sn＝42，则n＝________．解析：因为{an}为等比数列，所以a3·an－2＝a1·an＝64.又a1＋an＝34，所以a1，an是方程x2－34x＋64＝0的两根，解得a1＝2，an＝32或a1＝32，an＝2.又因为{an}是递增数列，所以a1＝2，an＝32.由Sn＝a1－anq1－q＝2－32q1－q＝42，解得q＝4.由an＝a1qn－1＝2×4n－1＝32，解得n＝3.答案：34．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有am＋nam＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析：因为an＋mam＝an，令m＝1，则an＋1a1＝an，即an＋1an＝a1＝2，所以{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，Sn＝2（1－2n）1－2＝2n＋1－2.答案：2n＋1－25．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列．(2)求{an}和{bn}的通项公式．解：(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，an＋bn＝12n－1，an－bn＝2n－1.所以an＝12[(an＋bn)＋(an－bn)]＝12n＋n－12，bn＝12[(an＋bn)－(an－bn)]＝12n－n＋12.6．(应用型)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝12n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.解：(1)因为an·an＋1＝12n，所以an＋1·an＋2＝12n＋1，所以an＋2an＝12，即an＋2＝12an.因为bn＝a2n＋a2n－1，所以bn＋1bn＝a2n＋2＋a2n＋1a2n＋a2n－1＝12a2n＋12a2n－1a2n＋a2n－1＝12，因为a1＝1，a1·a2＝12，所以a2＝12，所以b1＝a1＋a2＝32.所以{bn}是首项为32，公比为12的等比数列．所以bn＝32×12n－1＝32n.(2)由(1)可知，an＋2＝12an，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝12为首项，以12为公比的等比数列，所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝1－12n1－12＋121－12n1－12＝3－32n.