【新高考复习】1 第1讲　数系的扩充与复数的引入　新题培优练

[基础题组练]1．(2019·长春监测)设i为虚数单位，则(－1＋i)(1＋i)＝()A．2iB．－2iC．2D．－2解析：选D.(－1＋i)(1＋i)＝－1－i＋i＋i2＝－1－1＝－2.故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z－对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C.由题意，得z－＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.3．(2019·福州模拟)若复数z＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：选A.因为复数z＝a1＋i＋1＝a（1－i）（1＋i）（1－i）＋1＝a2＋1－a2i为纯虚数，所以a2＋1＝0且－a2≠0，解得a＝－2.故选A.4．(2019·南昌模拟)已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为()A．1B．－1C．iD．－i解析：选B.法一：因为(1＋i)z＝2，所以z＝21＋i＝2（1－i）（1＋i）（1－i）＝1－i，则复数z的虚部为－1.故选B.法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋i)(a＋bi)＝a－b＋(a＋b)i＝2，a－b＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，所以复数z的虚部为－1.故选B.5．(2019·石家庄质量检测)若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则共轭复数z－＝()A．1＋iB．1－iC．－1－iD．－1＋i解析：选B.由题意，得z＝i(1－i)＝1＋i，所以z－＝1－i，故选B.6．已知1＋2i2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝()A．－7B．7C．－4D．4解析：选A.因为1＋2i2＝1＋4i＋4i2＝－3－4i，所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，所以a＋b＝－7，故选A.7．(2019·合肥质量检测)已知i为虚数单位，则（2＋i）（3－4i）2－i＝()A．5B．5iC．－75－125iD．－75＋125i解析：选A.法一：（2＋i）（3－4i）2－i＝10－5i2－i＝5，故选A.法二：（2＋i）（3－4i）2－i＝（2＋i）2（3－4i）（2＋i）（2－i）＝（3＋4i）（3－4i）5＝5，故选A.8．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1B．2C.2D.3解析：选C.因为z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝1＋i，所以|z|＝2.故选C.9．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·z－＝4，则a＝()A．1或－1B.7或－7C．－3D.3解析：选A.法一：由题意可知z－＝a－3i，所以z·z－＝(a＋3i)(a－3i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.法二：z·z－＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.10．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－2z＝()A．1＋3iB．1－3iC．－1＋3iD．－1－3i解析：选C.因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，2z＝21＋i＝2（1－i）（1＋i）（1－i）＝2（1－i）1－i2＝2（1－i）2＝1－i，则z2－2z＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故选C.11．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4B．－45C．4D.45解析：选D.因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以z＝53－4i＝5（3＋4i）（3－4i）（3＋4i）＝3＋4i5＝35＋45i，所以z的虚部为45.12．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．1＋iB.35＋45iC．1＋45iD．1＋43i解析：选B.因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以z1z2＝2＋i2－i＝（2＋i）25＝35＋45i，故选B.13．设复数z满足z－＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝________．解析：复数z满足z－＝|1－i|＋i＝2＋i，则复数z＝2－i.答案：2－i14．设z＝11＋i＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________．解析：因为z＝11＋i＋i＝1－i（1＋i）（1－i）＋i＝1－i2＋i＝12＋12i，所以|z|＝122＋122＝22.答案：2215．已知复数z＝4＋2i（1＋i）2(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝________．解析：z＝4＋2i（1＋i）2＝4＋2i2i＝（4＋2i）i2i2＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.答案：－516．当复数z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)的模最小时，4iz＝________．解析：|z|＝（m＋3）2＋（m－1）2＝2m2＋4m＋10＝2（m＋1）2＋8，所以当m＝－1时，|z|min＝22，所以4iz＝4i2－2i＝4i（2＋2i）8＝－1＋i.答案：－1＋i[综合题组练]1．(综合型)若实数a，b，c满足a2＋a＋bi2＋ci(其中i2＝－1)，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩∁RB为()A．∅B．{0}C．{x|－2x1}D．{x|－2x0或0x1}解析：选D.由于只有实数之间才能比较大小，故a2＋a＋bi2＋ci⇔a2＋a2，b＝c＝0，解得－2a1，b＝c＝0，因此A＝{x|－2x1}，B＝{0}，故A∩∁RB＝{x|－2x1}∩{x|x∈R，x≠0}＝{x|－2x0或0x1}．2．(综合型)若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为3，则yx的最大值是()A.32B.33C.12D.3解析：选D.因为(x－2)＋yi是虚数，所以y≠0，又因为|(x－2)＋yi|＝3，所以(x－2)2＋y2＝3.因为yx是复数x＋yi对应点与原点连线的斜率，所以yxmax＝tan∠AOB＝3，所以yx的最大值为3.3．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝________．解析：由题意得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，即2(5－12i)－3p＋2pi＋q＝0，即(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0，所以10－3p＋q＝0，－24＋2p＝0.所以p＝12，q＝26，所以p＋q＝38.答案：384．已知复数z＝i＋i2＋i3＋…＋i20181＋i，则复数z在复平面内对应点的坐标为________．解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2018＝4×504＋2，所以z＝i＋i2＋i3＋…＋i20181＋i＝i＋i21＋i＝－1＋i1＋i＝（－1＋i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝2i2＝i，对应的点为(0，1)．答案：(0，1)5．复数z1＝3a＋5＋(10－a2)i，z2＝21－a＋(2a－5)i，若z－1＋z2是实数，求实数a的值．解：z－1＋z2＝3a＋5＋(a2－10)i＋21－a＋(2a－5)i＝3a＋5＋21－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝a－13（a＋5）（a－1）＋(a2＋2a－15)i.因为z－1＋z2是实数，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.因为a＋5≠0，所以a≠－5，故a＝3.6．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋5z是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋5z＝a＋bi＋5a＋bi＝a＋bi＋5（a－bi）a2＋b2＝a＋5aa2＋b2＋b－5ba2＋b2i.因为z＋5z是实数，所以b－5ba2＋b2＝0.又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，所以a＋3＋b＝0.②由①②得a＋b＋3＝0，a2＋b2＝5，解得a＝－1，b＝－2或a＝－2，b＝－1，故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.