【新高考复习】5 第5讲　几何概型　新题培优练

[基础题组练]1．(2019·河北衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是()A.363π10mm2B.363π5mm2C.726π5mm2D.363π20mm2解析：选A.向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S＝30100×π×112＝363π10(mm2)．2．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A．1－π4B.π12C.π4D．1－π12解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4，故选A.3．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cosx≥22”发生的概率为()A.12B.13C.712D.23解析：选C.由题意可得sinx＋cosx≥22，0≤x≤π，即sinx＋π4≥12，0≤x≤π，解得0≤x≤7π12，故所求的概率为7π12π＝712.4.(2019·湖南长沙模拟)如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为()A.π8B.π16C．1－π8D．1－π16解析：选C.正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P＝82－8π82＝1－π8，故选C.5．(2019·湘东五校联考)已知平面区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是()A.12B.1πC.2πD.π4解析：选A.y＝sin2x＝12－12cos2x，所以0π12－12cos2xdx＝12x－14sin2xπ0＝π2，区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤1}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是π2π＝12.故选A.6．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM30°的概率为________．解析：如图，在∠CAB内作射线AM0，使∠CAM0＝30°，于是有P(∠CAM30°)＝∠CAM0的度数∠CAB的度数＝30°45°＝23.答案：237．(2019·安徽江南十校联考)在区间[0，1]上随机取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋14b有零点的概率是________．解析：函数f(x)＝x2＋ax＋14b有零点，则Δ＝a2－b≥0，所以b≤a2，所以函数f(x)＝x2＋ax＋14b有零点的概率P＝01a2da1×1＝13.答案：138．(2019·唐山模拟)向圆(x－2)2＋(y－3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________．解析：如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为3，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为12×π3×4－12×2×3＝2π3－3，所以向圆(x－2)2＋(y－3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝16－34π.答案：16－34π9.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.(1)已知点A的坐标为(2，0)，B为圆周上任意一点，求AB︵的长度小于π的概率；(2)若N(x，y)为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于2的概率．解：(1)圆O的周长为4π，所以AB︵的长度小于π的概率为2π4π＝12.(2)记事件M为N到原点的距离大于2，则Ω(M)＝{(x，y)|x2＋y22}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝4π－2π4π＝12.10．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件．其中A＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝212＝16，即向量a∥b的概率为16.(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b0，即2x＋y0，且x≠2y.基本事件为（x，y）|－1≤x≤2，－1≤y≤1所表示的区域，B＝（x，y）|－1≤x≤2，－1≤y≤1，2x＋y0，x≠2y，如图，区域B为图中阴影部分去掉直线x－2y＝0上的点，所以，P(B)＝12×12＋32×23×2＝13，即向量a，b的夹角是钝角的概率是13.[综合题组练]1．(2019·河南正阳模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)，在[－1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为()A.12B.2－22C.3－33D.2－32解析：选C.圆C：x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，半径r＝1，圆心到直线l：y＝k(x＋2)的距离d＝|0×k－0＋2k|k2＋（－1）2＝2|k|k2＋1，直线l与圆C相离时dr，即2|k|k2＋11，解得k－33或k33，故所求的概率为P＝2×1－331－（－1）＝3－33.2．(创新型)已知P是△ABC所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.14B.13C.23D.12解析：选D.以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB→＋PC→＝PD→，因为PB→＋PC→＋2PA→＝0，所以PB→＋PC→＝－2PA→，得PD→＝－2PA→，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的12，所以S△PBC＝12S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为S△PBCS△ABC＝12.3．(应用型)(2019·山西太原联考)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是()A.18B.14C.38D.58解析：选C.建立平面直角坐标系如图，x，y分别表示甲、乙二人到达的时刻，则坐标系中每个点(x，y)可对应甲、乙二人到达时刻的可能性，则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是y－x≥5，0≤x≤20，5≤y≤20，其构成的区域为如图阴影部分，则所求的概率P＝12×15×1520×15＝38.4．(应用型)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sinπ6x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．解析：根据题意，大圆的直径为函数y＝3sinπ6x的最小正周期T，又T＝2ππ6＝12，所以大圆的面积S＝π·1222＝36π，一个小圆的面积S′＝π·12＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P＝2S′S＝2π36π＝118.答案：1185．(创新型)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为70.14＝50.由图易知第4、5、6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x，y米，则基本事件满足8≤x≤109.5≤y≤10.5，设事件A为“甲比乙跳得远”，则xy，作出可行域如图中阴影部分所示．所以由几何概型得P(A)＝12×12×121×2＝116，即甲比乙跳得远的概率为116.6．(创新型)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1，2，3}和Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域x＋y－8≤0，x0，y0内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)因为函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝2ba，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a0且2ba≤1，即2b≤a.若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1，1；若a＝3，则b＝－1，1.所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，因为事件“分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b”的个数是15.所以所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为（a，b）a＋b－8≤0，a0，b0，构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC部分．由a＋b－8＝0，b＝a2，得交点坐标C163，83，故所求事件的概率P＝S△BOCS△AOB＝12×8×8312×8×8＝13.