【新高考复习】1 第1讲　绝对值不等式 新题培优练

[基础题组练]1．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝－3，x－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x2.当x－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1解得1≤x≤2；当x2时，由f(x)≥1解得x2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－(|x|－32)2＋54≤54，且当x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54.故m的取值范围为－∞，54.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝2x＋4，x≤－1，2，－1＜x≤2，－2x＋6，x＞2.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当(x＋a)(x－2)≤0时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.(1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若方程f(x)＝x有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，f(x)＝|x＋1|－|x|＝－1，x－1，2x＋1，－1≤x0，1，x≥0.所以当x－1时，f(x)＝－10，不合题意；当－1≤x0时，f(x)＝2x＋1≥0，解得－12≤x0；当x≥0时，f(x)＝10，符合题意．综上可得f(x)≥0的解集为－12，＋∞.(2)设u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和y＝x的图象如图所示．易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1a0.所以实数a的取值范围为(－1，0)．4．(2019·辽宁五校联合体模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋|2x－a|(a∈R)．(1)若f(1)11，求a的取值范围；(2)若∀a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，求x的取值范围．解：(1)f(1)＝|1－a|＋|2－a|＝3－2a，a≤1，1，1a2，2a－3，a≥2，当a≤1时，3－2a11，解得a－4，所以－4＜a≤1；当1a2时，111恒成立；当a≥2时，2a－3＜11，解得a7，所以2≤a7.综上，a的取值范围是(－4，7)．(2)因为∀a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，又f(x)＝|x－a|＋|2x－a|≥|x－a－(2x－a)|＝|x|，所以|x|≥x2－x－3，所以x≥x2－x－3，x≥0或－x≥x2－x－3，x0，解得0≤x≤3或－3≤x＜0，所以x的取值范围为[－3，3]．[综合题组练]1．设函数f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－2|.(1)解不等式f(x)＋g(x)2；(2)对于实数x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，证明：|x－2y＋1|≤3.解：(1)解不等式|x－3|＋|x－2|2.①当x2时，原不等式可化为3－x＋2－x2，可得x32.所以32x2.②当2≤x≤3时，原不等式可化为3－x＋x－22，可得12.所以2≤x≤3.③当x3时，原不等式可化为x－3＋x－22，可得x72.所以3x72.由①②③可知，不等式的解集为{x|32x72}．(2)证明：|x－2y＋1|＝|(x－3)－2(y－2)|≤|x－3|＋2|y－2|≤1＋2＝3.当且仅当x＝4，y＝1或x＝2，y＝3时等号成立．2．已知f(x)＝|2x－1|＋|ax－5|(0a5)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函数y＝f(x)的最小值为4，求实数a的值．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋|x－5|＝6－3x，x12，x＋4，12≤x5，3x－6，x≥5，所以f(x)≥9⇔x12，6－3x≥9或12≤x5，x＋4≥9或x≥5，3x－6≥9.解得x≤－1或x≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．(2)因为0a5，所以5a1，则f(x)＝－（a＋2）x＋6，x12，（2－a）x＋4，12≤x≤5a，（a＋2）x－6，x5a.注意到当x12时，f(x)单调递减，当x5a时，f(x)单调递增，所以f(x)的最小值在12，5a上取得，因为在12，5a上，当0a≤2时，f(x)单调递增，当2a≤5时，f(x)单调递减，所以0a≤2，f（x）min＝f12＝4或2a≤5，f（x）min＝f5a＝4.解得a＝2.3．(2019·成都模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.(1)当k＝1时，若不等式f(x)4的解集为{x|x1xx2}，求x1＋x2的值；(2)当x∈R时，若关于x的不等式f(x)≥k恒成立，求k的最大值．解：(1)由题意，得|x－2|＋|x＋1|4.当x2时，原不等式可化为2x5，所以2x52；当x－1时，原不等式可化为－2x3，所以－32x－1；当－1≤x≤2时，原不等式可化为34，所以－1≤x≤2.综上，原不等式的解集为x－32x52，即x1＝－32，x2＝52.所以x1＋x2＝1.(2)由题意，得|x－2|＋k|x＋1|≥k.当x＝2时，即不等式3k≥k成立，所以k≥0.当x≤－2或x≥0时，因为|x＋1|≥1，所以不等式|x－2|＋k|x＋1|≥k恒成立．当－2＜x≤－1时，原不等式可化为2－x－kx－k≥k，可得k≤2－xx＋2＝－1＋4x＋2，所以k≤3.当－1x0时，原不等式可化为2－x＋kx＋k≥k，可得k≤1－2x，所以k＜3.综上，可得0≤k≤3，即k的最大值为3.4．(2019·山西太原模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋12a(a≠0)．(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；(2)当a12时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝|x－a|＋12a，所以f(x＋m)＝|x＋m－a|＋12a，所以f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，所以|m|≤1，即－1≤m≤1，所以实数m的最大值为1.(2)当a12时，g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋12a＝－3x＋a＋12a＋1，xa，－x－a＋12a＋1，a≤x≤12，3x－a＋12a－1，x12，所以g(x)min＝g12＝12－a＋12a＝－2a2＋a＋12a≤0，所以0a12，－2a2＋a＋1≤0或a0，－2a2＋a＋1≥0，所以－12≤a0，所以实数a的取值范围是－12，0.