【新高考复习】2 第2讲　参数方程 新题培优练

[基础题组练]1．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x＝2＋t，y＝kt(t为参数)，直线l2的参数方程为x＝－2＋m，y＝mk(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝1k(x＋2)．设P(x，y)，由题设得y＝k（x－2），y＝1k（x＋2）.消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0θ2π，θ≠π)．联立ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4，ρ（cosθ＋sinθ）－2＝0得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－13，从而cos2θ＝910，sin2θ＝110，代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为5.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθy＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当21＋k2＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinα(t为参数，π4＜α＜3π4)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2α(α为参数，π4＜α＜3π4)．3．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝22cosπ4－θ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线l过点P(1，0)且与曲线C交于A，B两点，若|PA|＋|PB|＝5，求直线l的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cosπ4－θ＝2(cosθ＋sinθ)⇒ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)⇒x2＋y2＝2x＋2y⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2.故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)由条件可设直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，代入圆的方程，有t2－2tsinα－1＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2sinα，t1t2＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝4sin2α＋4＝5，解得sinα＝12或sinα＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝2sinα(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6.(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；(2)若过点A22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求|AP||AM|·|AN|的值．解：(1)由题意可得曲线C的普通方程为x29＋y24＝1，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ9＋ρ2sin2θ4＝1.因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6，所以ρ2＝4ρsinθ－π6＝4ρ32sinθ－12cosθ，又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝23y－2x，所以曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ9＋ρ2sin2θ4＝1；曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－23y＝0.(2)点A22，π4，则x＝22cosπ4＝2，y＝22sinπ4＝2，所以A(2，2)．因为直线l过点A(2，2)且倾斜角为π3，所以直线l的参数方程为x＝2＋tcosπ3，y＝2＋tsinπ3(t为参数)，代入x29＋y24＝1可得，314t2＋(8＋183)t＋16＝0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝－32＋72331，t1t2＝6431，所以|AP||AM|·|AN|＝t1＋t22|t1t2|＝4＋9316.[综合题组练]1．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝2＋12t，y＝2＋32t(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＋4sinθ＝ρ.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点M在直角坐标系中的坐标为(2，2)，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|·|MB|的值．解：(1)由x＝2＋12t，y＝2＋32t消去参数t可得y＝3(x－2)＋2，所以直线l的普通方程为3x－y＋2－23＝0.因为ρsin2θ＋4sinθ＝ρ，所以ρ2sin2θ＋4ρsinθ＝ρ2.因为ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.(2)将x＝2＋12t，y＝2＋32t代入抛物线方程x2＝4y中，可得(2＋12t)2＝4(2＋32t)，即t2＋(8－83)t－16＝0.因为Δ0，且点M在直线l上，所以此方程的两个实数根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2，所以t1t2＝－16，所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝16.2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a0)，直线l：x＝－2＋22t，y＝22t(t为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2，0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．解：(1)由ρsin2θ＝2acosθ(a0)两边同乘以ρ得，曲线C：y2＝2ax，由直线l：x＝－2＋22t，y＝22t(t为参数)，消去t，得直线l：x－y＋2＝0.(2)将x＝－2＋22t，y＝22t代入y2＝2ax得，t2－22at＋8a＝0，由Δ0得a4，设M－2＋22t1，22t1，N(－2＋22t2，22t2)，则t1＋t2＝22a，t1t2＝8a，因为|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以|t1－t2|2＝|t1t2|，所以(22a)2－4×8a＝8a，所以a＝5.3．(综合型)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝－5＋2costy＝3＋2sint(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－2.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．解：(1)由x＝－5＋2costy＝3＋2sint，消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.由ρcos(θ＋π4)＝－2，得ρcosθ－ρsinθ＝－2，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2，0)，B(0，2)，化为极坐标为A(2，π)，B2，π2，设点P的坐标为(－5＋2cost，3＋2sint)，则点P到直线l的距离为d＝|－5＋2cost－3－2sint＋2|2＝|－6＋2cos（t＋π4）|2.所以dmin＝42＝22，又|AB|＝22.所以△PAB面积的最小值是S＝12×22×22＝4.