【新高考复习】专题03 导数及其应用-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）

专题03导数及其应用易错点1不能正确识别图象与平均变化率的关系A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量12WtWt,与时间t(天)的关系如图所示，则一定有A．两机关单位节能效果一样好B．A机关单位比B机关单位节能效果好C．A机关单位的用电量在0[0]t,上的平均变化率比B机关单位的用电量在0[0]t,上的平均变化率大D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大【错解】选C.因为在(0，t0)上，1Wt的图象比2Wt的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【试题解析】由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t,上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B.【参考答案】B1．平均变化率函数()yfx从1x到2x的平均变化率为2121()()fxfxxx，若21xxx，2()yfx1()fx，则平均变化率可表示为yx.2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()sst来描述，那么，物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到tt这段时间内，当t无限趋近于0时，st无限趋近的常数.1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？【答案】见解析.易错点2求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P(2,8)作曲线3yx的切线，则切线方程为A．12160xyB．320xyC．12160xy或320xyD．12160xy或320xy【错解】设3fxx，由定义得f′(2)=12，∴所求切线方程为8122yx，即12160xy.【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．【试题解析】①易知P点在曲线3yx上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为12160xy.②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为203kx.∵A在曲线上，∴300yx，∴32000832xxx，∴3200340xx，∴200120xx，解得01x或x0=2(舍去)，∴01y，k=3，此时切线方程为y+1=3(x+1)，即320xy.故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12160xy或320xy.【参考答案】D1．导数的几何意义函数()yfx在0xx处的导数0()fx就是曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线的斜率k.2．曲线的切线的求法若已知曲线过点00(),Pxy，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解：（1）当点00(),Pxy是切点时，切线方程为000()yyfxxx；（2）当点00(),Pxy不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过11()Pxfx，的切线方程为111yfxfxxx；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程111yfxfxxx，可得过点00(),Pxy的切线方程．2．过点e,e作曲线exyx的切线，则切线方程为A．21eeyxB．2e1eyxC．e1e2e1eyxD．ee1e1eyx【答案】C在求曲线yfx的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线()fx上）的切线方程，前者的切线方程为000yfxfxxx，其中切点00,xfx，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）22()2fxaaxx；（2）sin()lnxxfxx.【错解】（1）22()(2)22fxaaxxax；（2）2sin(sin)sincos()()sincos1ln(ln)xxxxxxxfxxxxxxxx.【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.1．导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．导数计算的方法①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；学科网④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；3．若函数fx满足32113fxxfxx，则1f的值为A．0B．2C．1D．1【答案】A【解析】2211,fxxfx令x=1,则211211121,10.ffff故答案为A.（1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数()yxQ与指数函数(0xyaa且1)a的导数公式，sinyx与cosyx的导数，lnyx与lgyx的导数及积与商的导数公式记混弄错．（2）本题中1f要将其看作一个常数进行计算，否则无法求解．易错点4区分复合函数的构成特征求下列函数的导数：（1）221yx；（2）22cosyx.【错解】（1）221yx；（2）2sin2xy.【错因分析】这是复合函数的导数，若,yfuuhx，则xuxyyu.如（1）中，22,1yuux，222221241xyuxxxxx，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导公式求导．【试题解析】解法一：（1）∵2242121yxxx，∴344yxx.（2）∵221coscos2xyx，∴1sin2yx.解法二：（1）22221141yxxxx．（2）12coscos2cossinsin2222()()(22)xxxxxyx.【参考答案】（1）241yxx；（2）1sin2yx.1．求复合函数的导数的关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.2．求复合函数的导数的方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.4．曲线πsin3yx在点30,2处的切线方程是__________．【答案】230xy【解析】πcos3yx，所以斜率为π1cos032，切线方程为31,230.22yxxy易错点5审题不细致误设函数2lnafxaxxx.（1）若20f，求函数()fx的单调区间；（2）若()fx在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．【错解】（1）∵22afxaxx，∴2104afa，∴45a.∴2224422252555fxxxxxx，令0fx，得2x或12x，令0fx，得122x，∴函数()fx的单调递增区间为122()()，，，单调递减区间为1()22，．（2）∵()fx在定义域上为增函数，∴0fx恒成立，∵22222aaxxafxaxxx，∴220axxa恒成立，∴20440aa，∴1a，即实数a的取值范围是[1,).【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R上取值的恒成立问题加以区分．【试题解析】（1）由已知得x0，故函数()fx的定义域为(0，+∞)．∵22afxaxx，∴2104afa，∴45a.∴2224422252555fxxxxxx，令0fx，得2x或12x，令0fx，得122x，∴函数()fx的单调递增区间为()102)2(,,,，单调递减区间为1()22，．（2）若()fx在定义域上是增函数，则0fx对x0恒成立，∵22222aaxxafxaxxx，∴需x0时220axxa恒成立，即221xax对x0恒成立．∵222111xxxx，当且仅当x=1时取等号，∴1a，即实数a的取值范围是[1,).【参考答案】（1）函数()fx的单调递增区间为()102)2(,,,，单调递减区间为1()22，；（2）[1,).用导数求函数()fx的单调区间的“三个方法”：1．当不等式0fx(或0fx)可解时，①确定函数yfx的定义域；②求导数yfx；③解不等式0fx，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式0fx，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2．当方程0fx可解时，①确定函数yfx的定义域；②求导数yfx，令0fx，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()fx的间断点(即()fx的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()fx的定义区间分成若干个小区间；④确定fx在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．3．当不等式0fx(或0fx)及方程0fx均不可解时，①确定函数yfx的定义域；②求导数并化简，根据fx的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定fx的符号；③得单调区间．5．已知函数2lnfxxax.（1）若函数fx在点3,3f处切线的斜率为4，求实数a的值；（2）求函数fx的单调区间；（3）若函数21ln222aagxxfxx在1,4上是减函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）6；（2）见解析；（3）7,16.【解析】（1）2afxxx，而34f，即2343a，解得6a.（2）函数fx的定义域为0,.①当0a时，0fx，fx的单调递增区间为0,；②当0a时，22222222aaxxaxafxxxxx.当x变化时，,fxfx的变化情况如下:由此可知，函数fx的单调递减区间是20,2a，单调递增区间是2,2a.（3）21ln22gxxaxx，于是21212axxgxaxxx.因为函