第1部分 研习2　复数、平面向量(共51张PPT)

研习二复数、平面向量第一部分基础考点自我研习考点1复数01历年常考题型预测创新题型解决复数问题应注意的4点(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，复数的实部为a，虚部为b.(2)与复数的分类、复数相等、共轭复数、复数的几何意义等有关的问题，常先运算再求解．(3)虚数单位i的in(n∈N)周期为4.(4)求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a＋bi|＝a2＋b2和性质|z|＝|z|，|z|2＝|z|2＝z·z，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝|z1||z2|进行计算．提醒：实系数方程的复根成对出现．135246[历年常考题型]1．(2021·全国卷甲)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝()A．－1－32iB．－1＋32iC．－32＋iD．－32－iB[z＝3＋2i1－i2＝3＋2i－2i＝3i－22＝－1＋32i.故选B．]2134562．(2021·全国卷乙)设2(z＋z)＋3(z－z)＝4＋6i，则z＝()A．1－2iB．1＋2iC．1＋iD．1－iC[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入2(z＋z)＋3(z－z)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C．]3124563．(2021·长郡十五校第二次联考)已知复数z满足：z2＝74＋6i(i为虚数单位)，且z在复平面内对应的点位于第三象限，则复数z－的虚部为()A．2iB．3C．32D．32i312456C[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi＝74＋6i，可得a2－b2＝74，2ab＝6，由题意知a0，b0，解得a＝－2，b＝－32，所以z＝－2－32i，则z－＝－2＋32i.故选C．]4123564．(2021·开封模拟)已知i为虚数单位，若复数z＝1＋2ia＋i(a∈R)为纯虚数，则z＋a＝()A．5B．3C．5D．22412356A[z＝1＋2ia＋i＝1＋2ia－ia＋ia－i＝a＋2＋2a－1ia2＋1＝a＋2a2＋1＋2a－1ia2＋1，复数z＝1＋2ia＋i(a∈R)为纯虚数，则a＋2a2＋1＝0，2a－1a2＋1≠0，解得a＝－2，则z＝－i，所以z＋a＝－2－i，所以z＋a＝5，故选A．]245136[预测创新题型]5．已知2＋i是关于x的方程x2＋ax＋5＝0的根，则实数a＝()A．2－iB．－4C．2D．4B[因为2＋i是关于x的方程x2＋ax＋5＝0的根，则另一根为2－i，由根与系数的关系得(2＋i)＋(2－i)＝－a，所以a＝－4，故选B．]2451366．设z为复数，则下列命题中正确的序号是________．①z2＝zz－；②z2＝z2；③若z＝1，则z＋i的最大值为2；④若z－1＝1，则0≤z≤2.245136①③④[对于①：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi，∴z2＝a2＋b2，而zz－＝a2＋b2，所以z2＝zz－成立；对于②：设z＝a＋bi(a，b∈R)，当ab均不为0时，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而z2＝a2＋b2，所以z2＝z2不成立；245136对于③：z＝1可以看作以O(0,0)为圆心，1为半径的圆上的点P，z＋i可以看成点P到Q(0，－1)的距离，所以当点P为(0,1)时，可取z＋i的最大值为2；对于④：z－1＝1可以看作以M(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点N，则z表示点N到原点的距离，故O、N重合时，z＝0最小，当O、M、N三点共线时，z＝2最大，故0≤z≤2.故填①③④.]考点2平面向量的线性运算02历年常考题型预测创新题型解决平面向量问题的3种常用方法(1)直接法：灵活运用三角形法则、平行四边形法则、共线向量定理，紧密结合图形的几何性质进行运算，如P是AB的中点⇔OP→＝12OA→＋12OB→；A，P，B三点共线⇔OP→＝(1－t)OA→＋tOB→(O为平面内任一点，t∈R)．(2)坐标法：若平面图形(如长方形、等腰三角形、菱形、直角梯形等)建系方便，则可借助向量的坐标运算巧解题．(3)基底法：若平面图形建系不方便，则考虑选取合适基底求解．13524[历年常考题型]1．(2021·兰州模拟)已知向量OA→＝(－1，k)，OB→＝(1,2)，OC→＝(k＋2,0)，且实数k＞0，若A，B，C三点共线，则k＝()A．0B．1C．2D．313524D[∵向量OA→＝(－1，k)，OB→＝(1,2)，OC→＝(k＋2,0)，且实数k＞0，∴AB→＝OB→－OA→＝(2,2－k)，BC→＝OC→－OB→＝(k＋1，－2)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴k＋12＝－22－k，由k＞0，解得k＝3.故选D．]213452.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC→＝λAM→＋μBN→，则λ＋μ＝()A．2B．83C．65D．8521345D[法一：(坐标法)以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为1，则AM→＝1，12，BN→＝－12，1，AC→＝(1,1)．∵AC→＝λAM→＋μBN→＝λ－12μ，λ2＋μ，21345∴λ－12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85，故选D．21345法二：(基底法)由AM→＝AB→＋12AD→，BN→＝－12AB→＋AD→，得AC→＝λAM→＋μBN→＝λ－μ2AB→＋λ2＋μAD→，又AC→＝AB→＋AD→，∴λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85，故选D．]312453．△ABC所在的平面内有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是()A．13B．12C．23D．3431245C[因为PA→＋PB→＋PC→＝AB→，所以PA→＋PB→＋PC→＝PB→－PA→，所以PC→＝－2PA→＝2AP→，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝23AC，由三角形的面积公式可知，S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.]412354．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.－6[a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.]24513[预测创新题型]5.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝π3，C为弧AB上的一个动点，若OC→＝xOA→＋yOB→，则x＋3y的取值范围是________．24513[1,3][设扇形的半径为1，以OB所在直线为x轴，O为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则B(1,0)，A12，32，C(cosθ，sinθ)其中∠BOC＝θ，0≤θ≤π3.则OC→＝(cosθ，sinθ)＝x12，32＋y(1,0)，24513即x2＋y＝cosθ，32x＝sinθ，解得x＝23sinθ3，y＝cosθ－3sinθ3，故x＋3y＝23sinθ3＋3cosθ－3sinθ＝3cosθ－33sinθ，0≤θ≤π3.24513令g(θ)＝3cosθ－33sinθ，0≤θ≤π3，易知g(θ)＝3cosθ－33sinθ在0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g(θ)取得最大值为3，当θ＝π3时，g(θ)取得最小值为1，故x＋3y的取值范围为[1,3]．]考点3平面向量的数量积03历年常考题型预测创新题型平面向量的数量积的运算转换技巧(1)抓住数量积的定义、几何意义及其性质，实现向量数量积、夹角、模的转换．①若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.③设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.(2)用好坐标法或极化恒等式a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]，解决与数量积有关的最值问题．13524687[历年常考题型]1．(2021·郑州模拟)已知向量a，b满足a＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)，则2a－b＝()A．22B．17C．15D．2513524687A[根据题意，a－b＝3＋2＝5，则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝5－2a·b＝5，可得a·b＝0，结合a＝1，b＝2，可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，则2a－b＝22，故选A．]213456872．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A．π6B．π3C．2π3D．5π621345687B[设a与b的夹角为θ，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0.又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cosθ－|b|2＝0，即cosθ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B．]312456873．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→·AB→的取值范围是()A．(－2,6)B．(－6,2)C．(－2,4)D．(－4,6)31245687A[法一：AP→·AB→＝|AP→|·|AB→|·cos∠PAB＝2|AP→|cos∠PAB，又|AP→|cos∠PAB表示AP→在AB→方向上的投影，所以结合图形(图略)可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又AC→·AB→＝23×2×cos30°＝6，AF→·AB→＝2×2×cos120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，AP→·AB→∈(－2,6)，故选A．31245687法二：如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，F(－1，3)．设P(x，y)，则AP→＝(x，y)，AB→＝(2,0)，且－1x3.所以AP→·AB→＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．]412356874．(2021·全国卷甲)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.32[由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝32.]245136875．(2021·全国卷乙)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.2451368735[法一：a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.法二：由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝a·bb2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35.]24513687[预测创新题型]6．已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则下列选项说法不正确的是()A．|OP1→|＝|OP2→|B．|AP1→|≠|AP2→|C．OA→·OP3→＝OP1→·OP2→D．OA→·OP1→＝OP2→·OP3→24513687D[由题可知，|OP1→|