第1部分 研习3　不等式与简单的线性规划(共63张PPT)

研习三不等式与简单的线性规划第一部分基础考点自我研习考点1不等式的性质01历年常考题型预测创新题型常见的比较大小的方法(1)作差法：作差与0作比较；(2)作商法：作商与1作比较(注意分母的正负)；(3)函数单调性法：根据函数单调性比较大小；(4)中间值法：取中间值进行大小比较．135246[历年常考题型]1．已知a＜b，则下列结论中正确的是()A．∀c＜0，a＞b＋cB．∀c＜0，a＜b＋cC．∃c＞0，a＞b＋cD．∃c＞0，a＜b＋cD[因为a＜b，c＞0，所以a＜b＋c恒成立，因此D正确，故选D．]2134562．设x，y为实数且满足1≤x≤4,0y≤2，则下列结论正确的是()A．1x＋y≤6B．1x－y≤2C．0≤xy≤8D．xy≥2213456A[∵1≤x≤4,0y≤2，∴1x＋y≤6，A正确；∵1≤x≤4，－2≤－y0，∴－1≤x－y4，B错误；∵1≤x≤4,0y≤2，∴0xy≤8，C错误；∵1≤x≤4,012≤1y，∴xy≥12，D错误．故选A．]3124563．若p1,0mn1，则下列不等式正确的是()A．mnp1B．p－mp－nmnC．m－pn－pD．logmplognp312456D[法一：(特值法)设m＝14，n＝12，p＝2，逐个代入可知D正确．法二：(性质法)对于选项A，因为0mn1，所以0mn1，又p1，所以0mnp1，故A不正确；对于选项B，p－mp－n－mn＝p－mn－mp－nnp－n＝pn－mnp－n0，所以p－mp－nmn，故B不正确；对于选项C，由于函数y＝x－p在(0，＋∞)上为减函数，且0mn1，所以m－pn－p，故C不正确；对于选项D，结合对数函数的图象可得，当p1,0mn1时，logmplognp，故D正确．]4123564．(2021·漳州模拟)若13a13b1，则下列各式中一定成立的是()A．ln(a－b)0B．2b－a1C．－1a－1bD．logcalogcb(c0且c≠1)412356C[指数函数y＝13x在(－∞，＋∞)上是单调递减的，由13a13b1可知，ab0.所以1a1b，则－1a－1b.故C正确；412356a－b0，但不一定有a－b1，则不一定有ln(a－b)0，故A错误；函数y＝2x在(－∞，＋∞)上是单调递增的，b－a0.则2b－a20＝1，故B错误；当0c1时，函数y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，则logcalogcb.故D错误．故选C．]245136[预测创新题型]5．已知实数x，y满足log2x＋log12y1x－1y，则下列结论正确的是()A．1x1yB．xy＜1C．2x－y－112D．x＋2y＋2xy245136C[由log2x＋log12y1x－1y，可得log2x－1xlog2y－1y，设f(x)＝log2x－1x，可知该函数在定义域内为增函数，所以xy0，因而1x1y，A错误；xy1，B错误；又x－y－1－1，所以2x－y－112，C正确；由x＋2y＋2xy可得yx，与已知矛盾，D错误．故选C．]2451366．能够说明“若a，b，m均为正数，则b＋ma＋mba”是假命题的一组整数a，b的值依次为________．2451361,1(答案不唯一)[若b＋ma＋mba是假命题，则b＋ma＋m≤ba.又a，b，m都是正数，∴a(b＋m)≤b(a＋m)，∴am≤bm，∴a≤b，故当a＝b＝1时，b＋ma＋mba是假命题．]考点2基本不等式02历年常考题型预测创新题型基本不等式求最值的解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值；(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值；(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋Agx＋Bg(x)(A＞0，B＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．提醒：解题时要注意“一正、二定、三相等”．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．135246[历年常考题型]1．已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C．92D．112135246B[由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－x＋2y22，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y0，所以x＋2y≥4，当且仅当x＝2y时，所以x＋2y的最小值为4.故选B．]2134562．(2021·全国卷乙)下列函数中最小值为4的是()A．y＝x2＋2x＋4B．y＝|sinx|＋4|sinx|C．y＝2x＋22－xD．y＝lnx＋4lnx213456C[选项A：因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意．选项B：因为y＝|sinx|＋4|sinx|≥2|sinx|·4|sinx|＝4，所以y≥4，当且仅当|sinx|＝4|sinx|，即|sinx|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sinx|＝2不可能成立，213456因此可知y＞4，所以选项B不符合题意．(另解设|sinx|＝t，则t∈(0,1]，根据函数y＝t＋4t在(0,1]上单调递减可得ymin＝1＋41＝5，所以选项B不符合题意．)选项C：因为y＝2x＋22－x≥22x·22－x＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，即x＝1时不等式取等号，所以ymin＝4，所以选项C符合题意．213456选项D：当0x1时，lnx0，y＝lnx＋4lnx0，所以选项D不符合题意．综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数，故选C．]3124563．设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是____________(填序号)．①1a＋1b有最小值4；②aba＋b有最大值12；③a＋b有最大值2；④a2＋b2有最小值12.312456①③④[因为a0，b0且a＋b＝1，所以1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，故①正确；312456又因为a0，b0且a＋b＝1，所以ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b＝12时等号成立，即ab的最大值为14，所以aba＋b＝ab≤14，故②错误；a＋b＝a＋b＋2ab≤1＋214＝2，故③正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×14＝12，故④正确．故填①③④.]4123564．设x0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________．0[y＝x＋22x＋1－32＝x＋12＋1x＋12－2≥2－2＝0.当且仅当x＋12＝1x＋12，即x＝12时等号成立．]245136[预测创新题型]5．今有一台坏天平，两臂长不等，左、右臂长分别是l1，l2，其余均精确，有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得质量分别为a，b(a≠b)，若真实质量为G，则下列结论中正确的为()A．a＋b2＝GB．a＋b2GC．a＋b2GD．不能确定245136C[由题意可得Gl1＝al2，Gl2＝bl1，∴G2＝ab，又a≠b，∴ab≤a＋b22，∴G2a＋b22，所以a＋b2G，故选C．]2451366．若实数x，y满足xy0，且log2x＋log2y＝2，则2x＋1y的最小值为________；x－yx＋y2的最大值为________．245136218[∵log2x＋log2y＝2，∴xy＝4，∵实数x、y满足xy0，∴2x＋1y≥22x·1y＝2(当且仅当x＝22，y＝2时等号成立)，x－yx＋y2＝x－yx－y2＋4xy＝1x－y＋16x－y≤18，当且仅当x＝22＋2，y＝22－2时等号成立．]考点3不等式的解法与恒成立问题03历年常考题型预测创新题型1.解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集；(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)＞a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min＞a，f(x)＜a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max＜a；(2)f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方；(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．提醒：解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0时，易忽视对系数a的讨论．123456[历年常考题型]1．已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b0的解集是()A．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B．(－3,2)C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D．(－2,3)123456A[由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，得b＝2a且a0，则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b0可化为x2＋x－60，即(x＋3)(x－2)0，解得x－3或x2，所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．]1234562．若关于x的不等式x2－ax＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a的取值范围为()A．2，52B．2，52C．2，52D．2，52123456A[令f(x)＝x2－ax＋1，由题意可得f1≤0，f2＞0，解得2≤a＜52.]1234563．若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围为()A．－2，65B．－2，65C．－2，65D．－2，65∪{2}123456B[当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有a2－4＜0，Δ＝a＋22＋4a2－4＜0，解得－2＜a＜65.综上，实数a的取值范围为－2，65.故选B．]1234564．若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则实数a的取值范围是________．[－5，＋∞)[由题意得，a≥－x＋4x，设f(x)＝－x＋4x，x∈(0,1]，则只要a≥f(x)max，由于函数f(x)在(0,1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝－5，故a≥－5.]1234565．已知函数f(x)＝3，x12，1x，x≥12，则不等式x2f(x)＋x－2≤0的解集是________．{x|－1≤x≤1}[由x2f(x)＋x－2≤0，得x12，3x2＋x－2≤0或x≥12，x2·1x＋x－2≤0，123456即x12，－1≤x≤23或x≥12，x≤1，∴－1≤x12或12≤x≤1，∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．]123456[预测创新题型]6．设函数f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(1,5)，则f(x)＝________；若对于任意x∈[1,3]，不等式f(x)≤2＋t有解，则实数t