【新高考复习】第一节 第2课时 精研题型明考向——空间几何体及其表面积、体积 教案

第2课时精研题型明考向——空间几何体及其表面积、体积一、真题集中研究——明考情1．(2020·全国卷Ⅰ·考查空间几何体的结构特征)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5－14B.5－12C.5＋14D.5＋12解析：选C设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m.依题意得h2＝12×2a×m，即h2＝am，①易知h2＋a2＝m2，②由①②得m＝1＋52am＝1－52a舍去，所以m2a＝1＋52a2a＝1＋54.故选C.2．(2020·全国卷Ⅱ·考查三棱锥的外接球表面积)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A.3B.32C．1D.32解析：选C由等边三角形ABC的面积为934，得34AB2＝934，解得AB＝3，则△ABC的外接圆半径r＝23×32AB＝33AB＝3.设球的半径为R，则由球的表面积为16π，得4πR2＝16π，得R＝2，所以球心O到平面ABC的距离d＝R2－r2＝1，故选C.3．(2020·浙江高考·考查圆锥的侧面积、侧面展开图)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．解析：法一：设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以12πl2＝2π，解得l＝2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R，则2πR＝2π，解得R＝1.法二：设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则πr＝2πR，即r＝2R，所以侧面展开图的面积为12·2R·2πR＝2πR2＝2π，解得R＝1.答案：14．(2020·新高考全国卷Ⅰ·柱体与球体的组合)已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．解析：如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝22＋12＝5，D1M⊥B1C1，且D1M＝3.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝2，连接D1P，则D1P＝D1M2＋MP2＝32＋22＝5，连接MG，MH，易得MG＝MH＝2，故可知以M为圆心，2为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以GH的长为14×2π×2＝2π2.答案：2π25．(2020·江苏高考·借助生产实际考查空间几何体的体积)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.解析：正六棱柱的体积为6×34×22×2＝123(cm3)，圆柱的体积为π×0.52×2＝π2(cm3)，则该六角螺帽毛坯的体积是123－π2cm3.答案：123－π26．(2020·全国卷Ⅲ·考查圆锥的内切球体积)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．解析：法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC.在Rt△BCD中，CD＝BC2－BD2＝22.易知BE＝BD＝1，则CE＝2.设圆锥的内切球半径为R，则OC＝22－R.在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(22－R)2－R2＝4，解得R＝22，所以圆锥内半径最大的球的体积为43πR3＝23π.法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB.在Rt△BCD中，CD＝BC2－BD2＝22，则S△ABC＝22.设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝2×S△ABC3＋3＋2＝22，所以圆锥内半径最大的球的体积为43πR3＝23π.答案：23π[把脉考情]常规角度1.几何体体积和表面积的计算：主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的体积与表面积的计算．2.球的切、接问题：主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算创新角度几何体的体积与表面积的计算与空间线面位置关系、数学文化、实际生产生活的应用交汇命题二、题型精细研究——提素养题型一空间几何体的结构特征[典例](1)(多选)下列命题中，正确的是()A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱D．存在每个面都是直角三角形的四面体(2)已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，有以下结论：①l∶r＝4∶3；②圆锥的侧面积与底面积之比为4∶3；③圆锥的轴截面是锐角三角形．其中正确的结论为()A．①②B．②③C．①③D．①②③[解析](1)A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；C正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．(2)①中，由题意得2πrl＝32π，所以lr＝43，所以l∶r＝4∶3，所以①正确；②中，由题意得S圆锥侧S圆锥底＝πrlπr2＝lr＝43，所以圆锥的侧面积与底面积之比为4∶3，所以②正确；③中，由题意得圆锥的轴截面的三边长分别为43r，43r,2r，易知顶角最大，设顶角为α，则由余弦定理可知，cosα＝169r2＋169r2－4r22×169r2＝－18＜0，所以顶角为钝角，所以圆锥的轴截面是钝角三角形，所以③错误．故选A.[答案](1)BCD(2)A[方法技巧]辨别空间几何体的2种方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可[针对训练]1．(2021·江南十校联考)已知圆台上、下两底面与侧面都与球O相切，圆台的侧面积为16π，则该圆台上、下两底面圆的周长之和为()A．4πB．6πC．8πD．10π解析：选C圆台的轴截面如图所示，因为圆台的侧面积S侧＝π(R＋r)2＝16π，所以R＋r＝4，所以该圆台上、下两底面圆的周长之和为2(R＋r)π＝8π.故选C.2.如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1(底面是正三角形的直三棱柱)的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则所求最短路线的长为52＋122＝13(cm)．答案：13题型二空间几何体的表面积与体积考法(一)空间几何体的表面积[例1](1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π(2)(2021·洛阳一模)如图，已知正三棱锥S­ABC的高为3，底面正三角形的高为3，则该正三棱锥的表面积为()A．330＋33B．330＋9C．123D.9210＋92[解析](1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.(2)如图所示，其中AD＝3(D为BC的中点)，设SH⊥平面ABC，由于三棱锥S­ABC为正三棱锥，∴H为正△ABC的中心，∴AH＝23AD＝2，又SH＝3，∴在Rt△SHA中，SA＝SH2＋AH2＝32＋22＝13.在正△ABC中，AD＝3，则AB＝AC＝BC＝23，∴S△ABC＝12×23×3＝33.在Rt△SDB中，SD＝SB2－BD2＝13－3＝10，∴S△SBC＝12×23×10＝30，∴正三棱锥的表面积为330＋33，故选A.[答案](1)B(2)A[方法技巧]求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积提醒在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加考法(二)空间几何体的体积[例2](1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1­D1MN的体积为________．(2)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都是a，点P，Q分别为棱CC1，BC的中点，四面体A1B1PQ的体积为32，则a的值为________．[解析](1)如图，易知MN＝2，连接A1B交MN于点O，则A1O＝322，∴VA1­D1MN＝VD1­A1MN＝13×322×2×12×2＝1.(2)如图，取B1C1的中点H，连接A1H，则A1H⊥平面BB1C1C，且A1H＝32a，S△B1PQ＝a2－12×a2×a2－2×12×a2×a＝3a28，∴四面体A1B1PQ的体积为13×3a28×32a＝316a3＝32，解得a＝2.[答案](1)1(2)2[方法技巧]1．处理体积问题的思路2．求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换[针对训练]1.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变，如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠()A．98颗B．106颗C．120颗D．126颗解析：选D如图，等腰△ABC中，底边AB＝6cm，高CD＝8cm；等腰△CEF中，底边为EF，高CP＝4cm.∵△CAB∽△CEF，∴EFAB＝CPCD，即EF6＝48，∴EF＝3，∴放入珍珠的最大体积为V＝13π×32×8－13π×322×4＝21π.∵一颗珍珠体积为43π×123＝π6，21ππ6＝126，∴最多放入珍珠126颗，故选D.2.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF＝32，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，则该刍甍的体积为()A．6B.113C.314D．12解析：选B如图，作FN∥AE，FM∥ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥两部分，则该刍甍的体积为VF­MNBC＋VDAE­MNF＝13S四边形MNBC×2＋S直截面×32＝13×2×2－32×2＋2×22×32＝113.3.(2021·福州模拟)如图，四面体