第3部分 深化2 第2讲　数形结合思想 课件（共15张PPT）

深化二思想方法第2讲数形结合思想第三部分学科素养考前深化数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.考点1函数零点问题用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．【例1】已知函数f(x)＝|x|，x≤m，x2－2mx＋4m，xm其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．(3，＋∞)[作出f(x)的图象如图所示，当xm时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2m，即m2－3m0.又m0，解得m3.]【点评】正确作出两个函数图象是解题关键，直观是本解法的最大优势．考点2求解不等式或参数范围解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简洁的解答．若f(x)g(x)，则y＝f(x)的图象位于y＝g(x)图象的上方！【例2】若不等式4x2－logax0对任意x∈0，14恒成立，则实数a的取值范围为()A．1256，1B．1256，1C．0，1256D．0，1256B[由已知4x2logax对任意x∈0，14恒成立，相当于在0，14上，函数y＝logax的图象恒在函数y＝4x2图象的上方，显然当a1时，不成立，当0＜a＜1时，如图，只需loga14≥4×142⇒loga14≥14⇒a≥1256，又0＜a＜1，故a∈1256，1.故选B．]【点评】本例把不等式恒成立问题转化为函数logax与函数y＝4x2的图象关系问题，抓住函数y＝logax恒过定点(1,0)，以动态的观点，求得参数a的取值范围，解题过程直观形象，方便快捷．考点3几何问题数形结合之形就是图形，而图形既包括平面图形，也包括立体图形，所以平面向量、解析几何和立体几何等就是天然的数形结合的好素材！【例3】(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C．2D．22(2)已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2,4)，在抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，则此时点P的坐标为________．(1)C(2)－2，12[(1)如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则CA→＝a－c，CB→＝b－c.由题意知CA→⊥CB→，∴O，A，C，B四点共圆．∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC→|＝2.(2)因为(－2)28×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12.故使△APF的周长最小时点P的坐标为－2，12.]【点评】(1)向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；(2)几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分利用“三角形两边之和大于第三边”“两点之间线段最短”等几何结论．