【新高考复习】第一节 导数的概念及运算 教案

第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算核心素养立意下的命题导向1.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．2．与曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a0，a≠1)f′(x)＝1xlna3．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．4．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(商的导数)若函数f(x)＝xex(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝()A.1＋xexB.1－xexC．1＋xD．1－x答案：B2．(导数的运算)已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.答案：33．(求切线方程)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．解析：∵y′＝1xln2，∴切线的斜率k＝1ln2，∴切线方程为y＝1ln2(x－1)，∴所求三角形的面积S＝12×1×1ln2＝12ln2＝12log2e.答案：12log2e4．(已知切线求参数)已知函数f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.解析：由题意，得f′(x)＝alnx＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.答案：4二、易错点练清1．(多选·混淆求导公式)下列导数的运算中正确的是()A．(3x)′＝3xln3B．(x2lnx)′＝2xlnx＋xC.cosxx′＝xsinx－cosxx2D．(sinxcosx)′＝cos2x解析：选ABD因为cosxx′＝－xsinx－cosxx2，所以C项错误，其余都正确．2．(混淆点P处的切线和过P点的切线)函数f(x)＝x2＋1x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．x－y＋1＝0B．3x－y－1＝0C．x－y－1＝0D．3x－y＋1＝0解析：选A函数f(x)＝x2＋1x的导数为f′(x)＝2x－1x2，可得图象在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝2－1＝1，切点为(1,2)，可得图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.故选A.考点一导数的运算[典题例析](1)设f(x)＝x(2020＋lnx)，若f′(x0)＝2021，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e(2)(2021·日照质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()A．－eB．1C．－1D．e(3)函数f(x)＝xsin2x＋π2cos2x＋π2，则其导函数f′(x)＝________________.[解析](1)f′(x)＝2020＋lnx＋1＝2021＋lnx，由f′(x0)＝2021，得2021＋lnx0＝2021，则lnx0＝0，解得x0＝1.(2)由题可得f′(x)＝2f′(1)＋1x，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，故选C.(3)∵f(x)＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin4x，∴f′(x)＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.[答案](1)B(2)C(3)－12sin4x－2xcos4x[方法技巧]1．导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导分式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导复合函数确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2．解决解析式中含有导数值问题的策略解决解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数问题的关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解，即先求导数f′(x)，然后令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，最后求得所求导数值．[针对训练]1．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数为f′(x)，若f′(2)＝2，则实数a的值为()A.12B．23C.34D．1解析：选B因为f′(x)＝aax－1，所以f′(2)＝a2a－1＝2，解得a＝23.故选B.2．(2021·长沙一模)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．215解析：选Cf′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝212.故选C.3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.答案：－4考点二导数的几何意义考法(一)求切线方程[例1]已知函数f(x)＝x2.(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求经过点P(－1,0)的曲线f(x)的切线方程．[解](1)∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(1)＝2，又f(1)＝1，∴曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)设切点坐标为(x0，x20)．∵f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，又∵切点(x0，x20)在切线上，∴代入切线方程得x20＝2x0(x0＋1)，即x20＋2x0＝0，解得x0＝0或x0＝－2.∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.[方法技巧]求切线方程问题的2种类型及方法(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”求解，即：①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组y1＝fx1，y0－y1＝f′x1x0－x1，求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．考法(二)求参数值或范围[例2]已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是()A.3，72B．(3，＋∞)C.－∞，72D．(0,3)[解析]由题得f′(x)＝2e2x－2ex＋a，则方程2e2x－2ex＋a＝3有两个不同的正解，令t＝ex(t0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3，则由图象可知，有g(0)0且Δ0，即a－30且4－8(a－3)0，解得3a72.故选A.[答案]A[方法技巧]利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒](1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．考法(三)导数的几何意义与函数图象[例3]已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.[解析]由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)．又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×－13＝0.[答案]0[方法技巧]函数图象与导数的关系(1)导数的几何意义：切线的斜率就是函数在切点处的导数．(2)切线斜率的变化对函数图象的影响：函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越陡，f′(x)＞0，曲线上升；f′(x)＜0，曲线下降．[针对训练]1．若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝lnx＋b的切线，则b＝()A．－1B．1C．2D．e解析：选C令y＝f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1，∵f(0)＝1，∴曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.设切线y＝x＋1与曲线y＝lnx＋b的切点坐标为(m，m＋1)，∵y′＝1x，∴y′|x＝m＝1m＝1，∴m＝1，∴切点坐标为(1,2)，∴2＝ln1＋b，∴b＝2.2．(多选)(2021·青岛模拟)若直线y＝12x＋b是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝x4C．f(x)＝sinxD．f(x)＝ex解析：选BCD直线y＝12x＋b的斜率为k＝12，由f(x)＝1x的导数为f′(x)＝－1x2，即切线的斜率小于0，故A不正确；由f(x)＝x4的导数为f′(x)＝4x3，而4x3＝12，解得x＝12，故B正确；由f(x)＝sinx的导数为f′(x)＝cosx，而cosx＝12有解，故C正确；由f(x)＝ex的导数为f′(x)＝ex，而ex＝12，解得x＝－ln2，故D正确，故选B、C、D.3．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b＝________.解析：由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，则13＋a＋b＝3，3×12＋a＝k，k＋1＝3，由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.答案：14.已知f′(x)，g′(x)分别