【新高考复习】课时跟踪检测（十七） 函数与导数”压轴大题的3大难点及破解策略 作业

课时跟踪检测（十七）“函数与导数”压轴大题的3大难点及破解策略1．定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)＝lnx－ax＋1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围．解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以要使f(x)在R上有5个零点，只需f(x)在(0，＋∞)上有2个零点，等价于方程a＝lnx＋1x在(0，＋∞)上有2个根，等价于y＝a与g(x)＝lnx＋1x(x0)的图象有2个交点．g′(x)＝－lnxx2，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－g(x)极大值所以g(x)的最大值为g(1)＝1.因为x→0时，g(x)→－∞；x→＋∞时，由洛必达法则可知：limx→+∞g(x)＝limx→+∞lnx＋1′x′＝limx→+∞1x＝0，所以0ag(1)，所以0a1.故实数a的取值范围为(0,1)．2．已知函数f(x)＝axex(a∈R)，g(x)＝lnx＋x＋1.若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．解：f(x)≥g(x)恒成立，即axex≥lnx＋x＋1恒成立．因为x＞0，所以a≥lnx＋x＋1xex.令h(x)＝lnx＋x＋1xex，则h′(x)＝x＋1－lnx－xx2ex.令p(x)＝－lnx－x，则p′(x)＝－1x－1＜0，故p(x)在(0，＋∞)上单调递减，又p1e＝1－1e＞0，p(1)＝－1＜0，故存在x0∈1e，1，使得p(x0)＝－lnx0－x0＝0，故lnx0＋x0＝0，即x0＝e－x0.当x∈(0，x0)时，p(x)＞0，h′(x)＞0；当x∈(x0，＋∞)时，p(x)＜0，h′(x)＜0.所以h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．所以h(x)max＝h(x0)＝lnx0＋x0＋1x0ex0＝1.故实数a的取值范围是[1，＋∞)．3．已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.(1)试用a表示出b，c；(2)若f(x)≥lnx在[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝a－bx2，由f1＝a＋b＋c＝1－1＝0，f′1＝a－b＝1，得b＝a－1，c＝1－2a.(2)题设即“a≥lnx＋1x－1x＋1x－2(x1)，或a≥xlnx－x＋1x－12(x1)恒成立”．设g(x)＝12(x－1)2＋(x－1)－xlnx(x≥1)，则g′(x)＝x－lnx－1(x≥1)，又g″(x)＝1－1x恒大于0(x1)，所以g′(x)单调递增(x1)，所以g′(x)g′(1)＝0，所以g(x)单调递增(x1)，所以g(x)≥g(1)＝0(x≥1)，当且仅当x＝1时g(x)＝0，故xlnx－x＋1x－1212(x1)，limx→1+xlnx－x＋1x－12＝12.所以若a≥xlnx－x＋1x－12(x1)恒成立，则a≥12，即a的取值范围是12，＋∞.4．已知函数f(x)＝lnx－ax－m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x1，x2.(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；(2)证明：lnx1＋lnx22.解：(1)f′(x)＝1x·x－lnx－ax2＝a＋1－lnxx2(x0)，由f′(x)＝0，得x＝ea＋1，且当0xea＋1时，f′(x)0，当xea＋1时，f′(x)0，所以f(x)在x＝ea＋1时取得极值，所以ea＋1＝e，解得a＝0.所以f(x)＝lnxx－m(x0)，f′(x)＝1－lnxx2，函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(e)＝1e－m.又x→0(x0)时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→－m，由f(x)有两个零点x1，x2，得1e－m0，－m0，解得0m1e.所以实数m的取值范围为0，1e.(2)证明：不妨设x1x2，由题意知lnx1＝mx1，lnx2＝mx2.则lnx1x2＝m(x1＋x2)，lnx2x1＝m(x2－x1)⇒m＝lnx2x1x2－x1.欲证lnx1＋lnx22，只需证lnx1x22，只需证m(x1＋x2)2，即证x1＋x2x2－x1lnx2x12.即证1＋x2x1x2x1－1lnx2x12，设t＝x2x11，则只需证lnt2t－1t＋1，即证lnt－2t－1t＋10.记u(t)＝lnt－2t－1t＋1(t1)，则u′(t)＝1t－4t＋12＝t－12tt＋120.所以u(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以u(t)u(1)＝0，所以原不等式成立，故lnx1＋lnx22.5．已知函数f(x)＝kex－x2(其中k∈R，e是自然对数的底数)．(1)若k＝2，当x∈(0，＋∞)时，试比较f(x)与2的大小；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，求k的取值范围，并证明：0f(x1)1.解：(1)当k＝2时，f(x)＝2ex－x2，则f′(x)＝2ex－2x.令h(x)＝2ex－2x，h′(x)＝2ex－2，由于x∈(0，＋∞)，故h′(x)＝2ex－20，于是h(x)＝2ex－2x在(0，＋∞)上为增函数，所以h(x)＝2ex－2xh(0)＝20.即f′(x)＝2ex－2x0在(0，＋∞)上恒成立，从而f(x)＝2ex－x2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)＝2ex－x2f(0)＝2.(2)函数f(x)有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f′(x)＝kex－2x＝0的两个根，即方程k＝2xex有两个根．设φ(x)＝2xex，则φ′(x)＝2－2xex，当x＜0时，φ′(x)0，函数φ(x)单调递增且φ(x)＜0；当0＜x＜1时，φ′(x)0，函数φ(x)单调递增且φ(x)0；当x1时，φ′(x)0，函数φ(x)单调递减且φ(x)0.作出函数φ(x)的图象如图所示，要使方程k＝2xex有两个根，只需0kφ(1)＝2e，故实数k的取值范围是0，2e.证明：由图可知函数f(x)的两个极值点x1，x2满足0x11x2，由f′(x1)＝kex1－2x1＝0得k＝2x1ex1，所以f(x1)＝kex1－x21＝2x1ex1ex1－x21＝－x21＋2x1＝－(x1－1)2＋1.由于x1∈(0,1)，所以0－(x1－1)2＋11.所以0f(x1)1.