【新高考复习】课时跟踪检测（八） 二次函数与幂函数 作业

课时跟踪检测（八）二次函数与幂函数一、基础练——练手感熟练度1．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝()A．1B．2C．1或2D．3解析：选A∵函数f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.2．已知幂函数f(x)的图象过点2，14，则函数g(x)＝f(x)＋x24的最小值为()A．1B．2C．4D．6解析：选A设幂函数f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点2，14，∴2α＝14，解得α＝－2.∴函数f(x)＝x－2，其中x≠0.∴函数g(x)＝f(x)＋x24＝1x2＋x24≥21x2·x24＝1，当且仅当x＝±2时，g(x)取得最小值1.3．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是()A．f(x)在区间[]－1，0上的最小值为1B．f(x)在区间[]－1，2上既有最小值，又有最大值C．f(x)在区间[]2，3上有最小值2，最大值5D．当0a1时，f(x)在区间[]0，a上的最小值为f(a)；当a1时，f(x)在区间[]0，a上的最小值为1解析：选BCD函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[]－1，0上单调递减，所以f(x)在[]－1，0上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在[]－1，1上单调递减，在[]1，2上单调递增，所以f(x)在[]－1，2上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)f(2)，所以f(x)在[]－1，2上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[]2，3上单调递增，所以f(x)在区间[]2，3上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当0a1时，f(x)在[]0，a上单调递减，所以f(x)的最小值为f(a)；当a1时，f(x)在区间[]0，1上单调递减，在[]1，a上单调递增，所以f(x)在区间[]0，a上的最小值为f(1)＝1，D正确，故选B、C、D.4．设a，b满足0ab1，则下列不等式中正确的是()A．aaabB．babbC．aabaD．bbab解析：选CD中，幂函数y＝xb(0b1)在(0，＋∞)上为增函数，又因为ab，所以bbab，D错误；A中，指数函数y＝ax(0a1)为减函数，因为ab，所以aaab，A错误；B中，指数函数y＝bx(0b1)为减函数，因为ab，所以babb，B错误．故选C.5．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()解析：选C若a0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，由直线可知a0，b0，从而－b2a0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.6．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为()A．{0，－3}B．[－3,0]C．(－∞，－3]∪[0，＋∞)D．{0,3}解析：选A∵函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝[－2(m＋3)]2－4×3×(m＋3)＝0，解得m＝－3或m＝0，∴实数m的取值范围为{0，－3}．故选A.7．已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(－4－x)，f(0)＝3，若x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1－x2|＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)若x0，求g(x)＝xfx的最大值．解：(1)∵二次函数满足f(x)＝f(－4－x)，∴f(x)的图象的对称轴为直线x＝－2，∵x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1－x2|＝2，∴x1＝－3，x2＝－1或x1＝－1，x2＝－3.设f(x)＝a(x＋3)(x＋1)(a≠0)．由f(0)＝3a＝3得a＝1，∴f(x)＝x2＋4x＋3.(2)由(1)得g(x)＝xfx＝xx2＋4x＋3＝1x＋3x＋4(x0)，∵x0，∴1x＋3x＋4≤14＋23＝1－32，当且仅当x＝3x，即x＝3时等号成立．∴g(x)的最大值是1－32.二、综合练——练思维敏锐度1．幂函数y＝x|m－1|与y＝x3m－m2(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为()A．0B．1和2C．2D．0和3解析：选C由题意可得|m－1|0，3m－m20，m∈Z，解得m＝2，故选C.2．若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是()A．f(x)＝x2－2x＋1B．f(x)＝x2－1C．f(x)＝2xD．f(x)＝2x＋1解析：选A由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x＝a2≠0，只有f(x)＝x2－2x＋1满足题意，故选A.3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)f(1)，则()A．a0,4a＋b＝0B．a0,4a＋b＝0C．a0,2a＋b＝0D．a0,2a＋b＝0解析：选A由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)f(1)，f(4)f(1)，∴f(x)先减后增，于是a0，故选A.4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，并且过点P(－1,7)，则a，b的值分别是()A．2,4B．－2,4C．2，－4D．－2，－4解析：选C∵y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，∴－b2a＝1.①又图象过点P(－1,7)，∴a－b＋1＝7，即a－b＝6，②联立①②解得a＝2，b＝－4，故选C.5．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋ax－a4在区间[]0，1上的最大值是32，则实数a的值为()A．3B．－6C．－2D.103解析：选BD函数f(x)＝－x2＋ax－a4＝－x－a22＋14(a2－a)的图象开口向下，对称轴方程为x＝a2，①当0≤a2≤1，即0≤a≤2时，f(x)max＝fa2＝14(a2－a)，则14(a2－a)＝32，解得a＝－2或a＝3，与0≤a≤2矛盾，不符合题意，舍去；②当a20，即a0时，f(x)在[]0，1上单调递减，f(x)max＝f(0)＝－a4，即－a4＝32，解得a＝－6，符合题意，B正确；③当a21，即a2时，f(x)在[]0，1上单调递增，f(x)max＝f(1)＝34a－1，即34a－1＝32，解得a＝103，符合题意，D正确，故选B、D.6.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1m0n1B．n－10m1C．－1m01nD．－1n0m1解析：选D幂函数y＝xα，当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0α1时，图象上凸，∴0m1；当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－12n，∴－1n0，综上所述，选D.7．若(a＋1)12(3－2a)12，则实数a的取值范围是________．解析：易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以a＋1≥0，3－2a≥0，a＋13－2a，解得－1≤a23.答案：－1，238．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为__________________．解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)9．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为－32，49，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________________．解析：设f(x)＝ax＋322＋49(a≠0)，方程f(x)＝0的两个实根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2－49a＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.答案：f(x)＝－4x2－12x＋4010．若关于x的不等式x2－4x－2－a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是________．解析：不等式x2－4x－2－a0在区间(1,4)内有解等价于a(x2－4x－2)max，x∈(1,4)．令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，所以f(x)f(4)＝－2，所以a－2.答案：(－∞，－2)11．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解：f(x)＝x＋a22－a24－a＋3，令f(x)在[－2,2]上的最小值为g(a)．(1)当－a2－2，即a4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，∴a≤73.又a4，∴a不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝f－a2＝－a24－a＋3≥0，∴－6≤a≤2.又－4≤a≤4，∴－4≤a≤2.(3)当－a22，即a－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7.又a－4，∴－7≤a－4.综上可知，a的取值范围为[－7,2]．12．已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5.(1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；(2)若不等式x|f(x)－x2|≤1对x∈13，12恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)，所以f(x)在[1，a]上为减函数，所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)]．又已知值域为[1，a]，所以fa＝a2－2a2＋5＝1，f1＝1－2a＋5＝a，解得a＝2.(2)由x|f(x)－x2|≤1，得－12x2＋52x≤a≤12x2＋52x.(*)令1x＝t，t∈[2,3]，则(*)可化为－12t2＋52t≤a≤12t2＋52t.记g(t)＝－12t2＋52t＝－12t－522＋258，则g(t)max＝g52＝258，所以a≥258；记h(t)＝12t2＋52t＝12t＋522－258，则h(t)min＝h(2)＝7，所以a≤7，综上所述，258≤a≤7.所以实数a的取值范围是258，7.三、自选练——练高考区分度1．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sinx－12，x∈－π2，m的值域为－12，2，则实数m的取值范围是()A.－π3，0B.－π6，0C.－π3，π6D.－π6，π3解析：选B由题意得f(x)＝－10sin2x＋sinx＋14＋2，x∈－π2，m，令t＝sinx，则f(x)＝g(t)＝－10(t＋12)2＋2，令g(t)＝－12，得t＝－1或t＝0，由g(t)的图象，可知当－12≤t≤0时，f(x)的值域为－12，2，所以－π6≤m≤0.故选B.2．已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f1312，b＝f(lnπ)，c＝f(2－12)，则a，b，c的大小关系为()A．acbB．abcC．bcaD．bac解析：选A因为f(x)＝(m－1)xn是幂函数，所以m－1＝1，m＝2，所以f(x)＝xn.因为点(2,8)在函数f(x)＝xn的图象上，所以