【新高考复习】课时跟踪检测（七） 函数性质的综合应用 作业

课时跟踪检测（七）函数性质的综合应用一、综合练——练思维敏锐度1．(2021·济南模拟)下列函数既是奇函数，又在[－1，1]上单调递增的是()A．f(x)＝|sinx|B．f(x)＝lne－xe＋xC．f(x)＝12(ex－e－x)D．f(x)＝ln(x2＋1－x)解析：选C对于A，f(x)＝|sinx|为偶函数，不符合题意；对于B，f(x)＝lne－xe＋x的定义域为(－e，e)，关于原点对称，有f(－x)＝lne＋xe－x＝－lne－xe＋x＝－f(x)，为奇函数，设t＝e－xe＋x＝－1＋2ex＋e，x∈(－e，e)，在(－e，e)上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f(x)＝lne－xe＋x在(－e，e)上为减函数，不符合题意；对于C，f(x)＝12(ex－e－x)，有f(－x)＝12(e－x－ex)＝－12(ex－e－x)＝－f(x)，为奇函数，且f′(x)＝12(ex＋e－x)0，则f(x)在R上为增函数，符合题意；对于D，f(x)＝ln(x2＋1－x)的定义域为R.f(－x)＝ln(x2＋1＋x)＝－ln(x2＋1－x)＝－f(x)，为奇函数，设t＝x2＋1－x＝1x2＋1＋x，易知t在R上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f(x)＝ln(x2＋1－x)在R上为减函数，不符合题意．故选C.2．已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为()A.－1，23B.－1，13C．[－1,1]D.13，1解析：选B∵f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[－2,0]上为增函数，∴函数f(x)在(0,2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，解得－1≤x≤13.又∵函数f(x)的定义域为[－2,2]，∴－2≤x－1≤2，－2≤2x≤2，解得－1≤x≤3，－1≤x≤1.综上，所求解集为－1，13.3．已知函数f(x)在[0,4]上是增函数，且函数y＝f(x＋4)是偶函数，则下列结论正确的是()A．f(2)f(4)f(5)B．f(2)f(5)f(4)C．f(5)f(4)f(2)D．f(4)f(2)f(5)解析：选B因为函数y＝f(x＋4)是偶函数，所以函数y＝f(x＋4)的图象关于直线x＝0对称，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(5)＝f(3)，又函数y＝f(x)在[0,4]上是增函数，所以f(2)f(3)f(4)，即f(2)f(5)f(4)．故选B.4．(2021·广州模拟)如果对定义在R上的奇函数，y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，所有x1f(x1)＋x2f(x2)x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”，下列函数为H函数的是()A．f(x)＝sinxB．f(x)＝exC．f(x)＝x3－3xD．f(x)＝x|x|解析：选D根据题意，对于任意不相等的实数x1，x2，x1f(x1)＋x2f(x2)x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，故“H函数”为奇函数且在R上为增函数．据此依次分析选项：对于A，f(x)＝sinx，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f(x)＝ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)＝x3－3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f(x)＝x|x|＝x2，x≥0，－x2，x0为奇函数且在R上为增函数，符合题意，故选D.5．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称，给出下列关于f(x)的结论，其中正确的结论是()A．f(x)是周期函数B．f(x)满足f(x)＝f(4－x)C．f(x)在(0,2)上单调递减D．f(x)＝cosπx2是满足条件的一个函数解析：选ABD因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故A正确；可得f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成－x可得f(x)＝f(4－x)，故B正确；f(x)＝cosπx2是定义在R上的偶函数，(1,0)是其图象的一个对称中心，可得D正确；f(x)＝－cosπx2满足题意，但f(x)在(0,2)上单调递增，故C错误．6．(多选)设函数f(x)是定义在R上的函数，满足f(－x)－f(x)＝0，且对任意的x∈R，恒有f(x＋2)＝f(2－x)，已知当x∈[]0，2时，f(x)＝122－x，则有()A．函数的最大值是1，最小值是14B．函数f(x)是周期函数，且周期为2C．函数f(x)在[]2，4上递减，在[]4，6上递增D．当x∈[]2，4时，f(x)＝122－x解析：选AC∵函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，即f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．∵f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数，B错误；∵x∈[]0，2时，f(x)＝122－x，∴x∈[]0，2时，f(x)是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(0)＝14.根据函数f(x)是偶函数可知当x∈[]－2，2时，最大值为1，最小值为14，由周期性知当x∈R时，最大值为1，最小值为14，A正确；又∵x∈[]0，2时，f(x)是增函数，∴x∈[]－2，0时，f(x)是减函数，由T＝4知f(x)在[]2，4上递减，在[]4，6上递增，C正确；令x∈[]－2，0，则－x∈[]0，2，f(－x)＝122＋x＝f(x)，∴f(x－4)＝122＋x－4＝12x－2＝f(x)，∴x∈[]2，4时，f(x)＝12x－2，D错误．故选A、C.7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.答案：68．(2021·衡水中学模拟)已知函数f(x)＝ex－1ex－2sinx，其中e为自然对数的底数，若f(2a2)＋f(a－3)＋f(0)0，则实数a的取值范围为________．解析：因为f(0)＝0，f′(x)＝ex＋e－x－2cosx，ex＋e－x≥2，而2cosx≤2，所以f′(x)≥0，所以函数y＝f(x)是单调递增函数．又f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，所以原不等式可化为f(2a2)－f(a－3)＝f(3－a)，则2a23－a，即2a2＋a－30，解得－32a1.答案：－32，19．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．解析：∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，f(x)的周期为4，故①正确；又f(4－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．答案：①②③10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×12×2×1＝4.11．已知定义在R上的函数f(x)，对于任意实数a，b都满足f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)≠0，当x0时，f(x)1.(1)求f(0)的值；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；(3)求不等式f(x2＋x)1f2x－4的解集．解：(1)令a＝1，b＝0，则f(1)＝f(1＋0)＝f(1)f(0)，∵f(1)≠0，∴f(0)＝1.(2)证明：当x0时，－x0.令a＝x，b＝－x，则f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1，由f(－x)0得f(x)0，注意到f(0)＝10，∴对于任意实数x，f(x)0.任取x1，x2∈R，且x1x2，则x2－x10，f(x2－x1)1，∵f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)f(x2－x1)f(x1)，∴函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．(3)∵1f2x－4＝f0f2x－4＝f(－2x＋4)，∴f(x2＋x)1f2x－4＝f(－2x＋4)，由(2)可得x2＋x－2x＋4，解得－4x1，∴原不等式的解集是(－4,1)．12．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，若当x∈[0,1)时，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且f32＝12.(1)求实数a，b的值；(2)求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．解：(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数．因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(0)＝0，即b＝－1.又f32＝f－12＝－f12＝1－a＝12，解得a＝14.(2)当x∈[0,1)时，f(x)＝ax＋b＝14x－1∈－34，0，由f(x)为奇函数知，当x∈(－1,0)时，f(x)∈0，34，又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以当x∈R时，f(x)∈－34，34，设t＝f(x)∈－34，34，所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝t＋122－14，即y＝t＋122－14∈－14，2116.故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为－14，2116.二、自选练——练高考区分度1．(多选)(2021·衡阳模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20.下面四个函数中，是“优美函数”的为()A．f(x)＝sinxB．f(x)＝－2x3C．f(x)＝e－x－exD．f(x)＝ln(x2＋1＋x)解析：选BC由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．对于A，f(x)＝sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于B，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于C，f(