第七节 第2课时 精研题型明考向——解三角形及应用举例 课件

第2课时精研题型明考向——解三角形及应用举例一、真题集中研究——明考情1．(2020·全国卷Ⅲ·利用正、余弦定理求角的三角函数值)在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，则cosB＝()A.19B．13C.12D．23解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝16＋9－2×4×3×23＝9，解得AB＝3，所以cosB＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.答案：A2．(2020·全国卷Ⅰ·正、余弦定理与平面几何相结合)如图，在三棱锥P­ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.解析：依题意得，AE＝AD＝3.在△AEC中，AC＝1，∠CAE＝30°，由余弦定理得EC2＝AE2＋AC2－2AE·ACcos∠EAC＝3＋1－23cos30°＝1，所以EC＝1，所以CF＝EC＝1.又BC＝AC2＋AB2＝1＋3＝2，BF＝BD＝AD2＋AB2＝6，所以在△BCF中，由余弦定理得cos∠FCB＝BC2＋CF2－BF22BC·CF＝22＋12－622×2×1＝－14.答案：－143．(2020·新高考全国卷Ⅰ·结合“劳育”考查解三角形问题)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝35，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.解析：如图，连接OA，作AQ⊥DE，交ED的延长线于Q，作AM⊥EF于M，交DG于E′，交BH于F′，记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P.设OP＝3m，则DP＝5m，不难得出AQ＝7，AM＝7，于是AE′＝5，E′G＝5，∴∠AGE′＝∠AHF′＝π4，△AOH为等腰直角三角形．又AF′＝5－3m，OF′＝7－5m，AF′＝OF′，∴5－3m＝7－5m，解得m＝1，∴AF′＝OF′＝5－3m＝2，∴OA＝22，∴阴影部分的面积S＝135360×π×(22)2＋12×22×22－π2＝5π2＋4(cm2)．答案：5π2＋44．(2020·新高考全国卷Ⅰ·条件的选择，正、余弦定理解三角形)在①ac＝3，②csinA＝3，③c＝3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝3sinB，C＝π6，________？解：方案一：选条件①.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c.由①ac＝3，解得a＝3，b＝c＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.方案二：选条件②.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c，B＝C＝π6，A＝2π3.由②csinA＝3，所以c＝b＝23，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝23.方案三：选条件③.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c.由③c＝3b，与b＝c矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．5．(2020·全国卷Ⅰ·利用正、余弦定理求面积)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝3c，b＝27，求△ABC的面积；(2)若sinA＋3sinC＝22，求C.解：(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×3c2×cos150°，解得c＝2或c＝－2(舍去)，从而a＝23.所以△ABC的面积为12×23×2×sin150°＝3.(2)因为在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，所以sinA＋3sinC＝sin(30°－C)＋3sinC＝sin(30°＋C)．故sin(30°＋C)＝22.而0°＜C＜30°，所以30°＋C＝45°，故C＝15°.6．(2020·全国卷Ⅱ·利用正、余弦定理求边、角及最值问题)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．解：(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA．②由①②得cosA＝－12.因为0＜A＜π，所以A＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝23，从而AC＝23sinB，AB＝23sin(π－A－B)＝3cosB－3sinB．故BC＋AC＋AB＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sinB＋π3.又0＜B＜π3，所以当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋23.7．(2019·全国卷Ⅲ·利用正弦定理求角及面积的范围问题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，所以sinB2＝12，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.结合A＋C＝120°，得30°C90°，所以12a2，从而38S△ABC32.因此△ABC面积的取值范围是38，32.[把脉考情]常规角度1.三角形基本量的求解：主要考查利用正弦或余弦定理解三角形求边或角．2.三角形面积问题：主要考查求三角形的面积或由三角形的面积求边或角创新角度1.与平面几何相结合，求边角问题．2.多个条件的选择问题．3.结合“劳动教育”考查二、题型精细研究——提素养题型一三角形基本量的求解问题[典例](2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面积．条件①：c＝7，cosA＝－17；条件②：cosA＝18，cosB＝916.[解]选条件①：c＝7，cosA＝－17，且a＋b＝11.(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b＝11－a，c＝7，得a2＝(11－a)2＋49－2(11－a)×7×－17，∴a＝8.(2)∵cosA＝－17，A∈(0，π)，∴sinA＝437.由正弦定理asinA＝csinC，得sinC＝csinAa＝7×4378＝32.由(1)知b＝11－a＝3，∴S△ABC＝12absinC＝12×8×3×32＝63.选条件②：cosA＝18，cosB＝916，且a＋b＝11.(1)∵cosA＝18，∴A∈0，π2，sinA＝378.∵cosB＝916，∴B∈0，π2，sinB＝5716.由正弦定理asinA＝bsinB，得a378＝11－a5716，∴a＝6.(2)sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝74.∵a＋b＝11，a＝6，∴b＝5.∴S△ABC＝12absinC＝12×6×5×74＝1574.[方法技巧]用正、余弦定理求解三角形基本量的方法[针对训练]1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinC＝sin2B，且b＝2，c＝3，则a等于()A.12B．3C．2D．23解析：由sinC＝sin2B＝2sinBcosB及正、余弦定理得c＝2b·a2＋c2－b22ac，代入数据得(2a＋1)(a－2)＝0，解得a＝2或a＝－12(舍去)．故选C.答案：C2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝()A.π3B．2π3C.3π4D．5π6解析：∵3sinA＝5sinB，∴由正弦定理可得3a＝5b，即a＝53b.∵b＋c＝2a，∴c＝73b，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝259b2＋b2－499b22×53b2＝－159103＝－12.∵C∈(0，π)，∴C＝2π3.故选B.答案：B3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA＝3asinB．(1)求角A的大小；(2)若a＝22，B＝π4，求b，c的长．解：(1)由bcosA＝3asinB及正弦定理，得sinBcosA＝3sinAsinB，又sinB≠0，所以tanA＝33，因为0＜A＜π，所以A＝π6.(2)由bcosA＝3asinB，a＝22，B＝π4，得b×32＝3×22×22，解得b＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝16＋c2－2×4×c×32＝8，即c2－43c＋8＝0，解得c＝23＋2或c＝23－2，又C＝π－A－B＝712π，C＞B，所以c＝23＋2.题型二三角形形状的判断[典例](1)在△ABC中，cosA2＝1＋cosB2，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．无法确定(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[解析](1)由已知得cos2A2＝1＋cosB2，∴2cos2A2－1＝cosB，∴cosA＝cosB，又0Aπ，0Bπ，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．(2)由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，∴sinA＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．[答案](1)A(2)B[方法技巧]判定三角形形状的2种常用途径角化边利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断边化角通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断[针对训练]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinA＋bsinB＜csinC，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形解析：因为asinA＋bsinB＜csinC，由正弦定理可得a2＋b2＜c2，由余弦定理可得cosC＜0，所以C＞π2.所以△ABC是钝角三角形．答案：C2．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2π2＋A＋cosA＝54.(1)求A；(2)若b－c＝33a，证明：△ABC是直角三角形．解：(1)由已知得sin2A＋cosA＝54，即cos2A－cosA＋14＝0.所以cosA－122＝0，所以cosA＝12.由于0＜A＜π，故A＝π3.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sinB－sinC＝33sinA．由(1)知A＝π3，B＋C＝2π3，所以sinB－sin2π3－B＝33sinπ3，即12sinB－32cosB＝12，从而sinB－π3＝12.由于0＜B＜2π3，故B＝π2.从而△ABC是直角三角形．题型三三角