【新高考复习】第三节 第2课时 精研题型明考向——平面向量的数量积及应用 教案

第2课时精研题型明考向——平面向量的数量积及应用一、真题集中研究——明考情1．(2020·全国卷Ⅲ·考查数量积的运算、模)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝()A．－3135B．－1935C.1735D．1935解析：选D由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝7，所以cosa，a＋b＝a·a＋b|a||a＋b|＝195×7＝1935，故选D.2．(2020·全国卷Ⅱ·考查向量垂直)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2bB．2a＋bC．a－2bD．2a－b解析：选D法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝12.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D.法二：不妨设a＝12，32，b＝(1,0)，则a＋2b＝52，32，2a＋b＝(2，3)，a－2b＝－32，32，2a－b＝(0，3)，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D.法三：根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示：由图易知，只有选项D满足题意，故选D.3．(2019·全国卷Ⅱ·考查数量积的坐标运算)已知AB―→＝(2,3)，AC―→＝(3，t)，|BC―→|＝1，则AB―→·BC―→＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：选C∵BC―→＝AC―→－AB―→＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，|BC―→|＝1，∴12＋t－32＝1，解得t＝3，∴BC―→＝(1,0)，∴AB―→·BC―→＝2×1＋3×0＝2.4．(2019·全国卷Ⅰ·考查两向量的夹角)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B．π3C.2π3D．5π6解析：选B由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，即a·b＝b2.∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝b22b2＝12.又∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为π3.5．(2020·新高考全国卷Ⅰ·考查数量积的范围)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP―→·AB―→的取值范围是()A．(－2,6)B．(－6,2)C．(－2,4)D．(－4,6)解析：选A法一：如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，F(－1，3)．设P(x，y)，则AP―→＝(x，y)，AB―→＝(2,0)，且－1x3.所以AP―→·AB―→＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．故选A.法二：AP―→·AB―→＝|AP|――→·|AB|――→·cos∠PAB＝2|AP|――→·cos∠PAB，又|AP|――→cos∠PAB表示AP―→在AB―→方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又AC―→·AB―→＝23×2×cos30°＝6，AF―→·AB―→＝2×2×cos120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，AP―→·AB―→∈(－2,6)．故选A.[把脉考情]常规角度1.平面向量数量积及其性质的应用：主要考查平面向量数量积的计算，以及利用数量积求向量的模、夹角等．2.平面向量的综合应用：主要考查平面向量模或数量积的最值范围问题创新角度平面向量的数量积与解析几何、平面几何以及三角函数交汇，主要利用数量积证明垂直或利用数量积转化垂直的条件、求长度等二、题型精细研究——提素养题型一平面向量数量积的运算[典例](1)(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的有()A．OA―→·OD―→＝－22B．OB―→＋OH―→＝－2OE―→C．AH―→·HO―→＝BC―→·BO―→D．AH―→·AB―→＝1－2(2)已知点A，B，C满足|AB―→|＝3，|BC―→|＝4，|CA―→|＝5，则AB―→·BC―→＋BC―→·CA―→＋CA―→·AB―→的值为________．[解析](1)对于A：OA―→·OD―→＝1×1×cos3π4＝－22，故正确．对于B：OB―→＋OH―→＝2OA―→＝－2OE―→，故正确．对于C：|AH―→|＝|BC―→|，|HO―→|＝|BO―→|，但对应向量的夹角不相等，所以不成立，故错误．对于D：AH―→·AB―→＝|AB―→|2cos3π4＝1－2，故正确．(2)法一：定义法由题意可知△ABC为直角三角形，且∠B＝π2，cosA＝35，cosC＝45.∴AB―→·BC―→＋BC―→·CA―→＋CA―→·AB―→＝BC―→·CA―→＋CA―→·AB―→＝4×5×cos(π－C)＋5×3×cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×45－15×35＝－25.法二：坐标法易知∠ABC＝90°.如图，以点B为坐标原点，BA―→，BC―→的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．∴AB―→＝(－3,0)，BC―→＝(0,4)，CA―→＝(3，－4)，∴AB―→·BC―→＝－3×0＋0×4＝0，BC―→·CA―→＝0×3＋4×(－4)＝－16，CA―→·AB―→＝－3×3＋0×(－4)＝－9.∴AB―→·BC―→＋BC―→·CA―→＋CA―→·AB―→＝－25.[答案](1)ABD(2)－25[方法技巧]平面向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题[针对训练]1．(2021·长沙雅礼中学月考)已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．2解析：选B由已知得|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos〈a，b〉－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B.2．设a，e均为单位向量，当a，e的夹角为23π时，a在e方向上的投影为________．解析：a在e方向上的投影为|a|cos〈a，e〉＝cos23π＝－12.答案：－123．已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，若点D满足AD―→＝13AB―→＋12AC―→，则DB―→·DC―→＝________.解析：法一：∵BC―→2＝(AC―→－AB―→)2＝AC―→2＋AB―→2－2AB―→·AC―→，AB＝3，AC＝5，BC＝7，∴AB―→·AC―→＝－152.∴DB―→·DC―→＝(AB―→－AD―→)·(AC―→－AD―→)＝23AB―→－12AC―→·12AC―→－13AB―→＝－29AB―→2－14AC―→2＋12AB―→·AC―→＝－2－254－154＝－12.法二：在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，由余弦定理可得cos∠BAC＝32＋52－722×3×5＝－12，可得∠BAC＝120°.如图所示，以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，C(5,0)，B－32，323，故AD―→＝13AB―→＋12AC―→＝13－32，323＋12(5,0)＝2，32，从而点D2，32，∴DB―→＝－72，3，DC―→＝3，－32，∴DB―→·DC―→＝－212－32＝－12.答案：－12题型二平面向量的夹角与垂直、模的计算[典例](1)(2021年1月新高考八省联考卷)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin〈a，c〉＝()A.73B．23C.79D．29(2)已知平面向量m，n的夹角为π6，且|m|＝3，|n|＝2，在△ABC中，AB―→＝2m＋2n，AC―→＝2m－6n，D为BC的中点，则|AD―→|＝________.[解析](1)∵a·c＝a·(7a＋2b)＝7a2＋2a·b＝7，|c|＝7a＋2b2＝7a2＋2b2＋214a·b＝7＋2＝3，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝71×3＝73，∴sin〈a，c〉＝23.故选B.(2)由题意知m·n＝3×2×cosπ6＝3.∵在△ABC中，D为BC的中点，∴AD―→＝12(AB―→＋AC―→)＝12(2m＋2n＋2m－6n)＝2m－2n.∴|AD―→|＝|2m－2n|＝2m－n2＝2m2－2m·n＋n2＝23－2×3＋4＝2.[答案](1)B(2)2[方法技巧](1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cosθ＝a·b|a||b|(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．(3)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．[针对训练]1．若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为()A.2π3B．π3C.4π3D．－2π3解析：选A∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－4，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－42×4＝－12，∴〈a，b〉＝2π3，故选A.2．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于()A．1B．3C．4D．5解析：选D由向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，得a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，所以x－1＝1，y＋2＝3，解得x＝2，y＝1，所以a＝(2,1)．所以a－2b＝(2,1)－2(－1,2)＝(4，－3)，所以|a－2b|＝42＋－32＝5，故选D.3．已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，则|3e1－e2|＝3e1－e22＝3e21－23e1·e2＋e22＝3－0＋1＝2.同理|e1＋λe2|＝1＋λ2.所以cos60°＝3e1－e2·e1＋λe2|3e1－e2||e1＋λe2|＝3e21＋3λ－1e1·e2－λe2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.答案：33题型三平面向量数量积中的最值范围问题[典例](1)(2021·福建模拟)已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则PC―→·(PB―→＋PD―→)的最小值为()A．－1B．－3C．－12D．－32(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA―→＋3PB―→|的最小值为________．[解析](1)法一：综合法如图，连接BD，取BD的中点O，连接CO，取CO的中点Q.连接PO，因为O为BD的中点，所以PB―→＋PD―→＝2PO―→.连接PQ，在△PCQ中，PC―→＝PQ―→＋