第三节 第3课时 难点专攻夺高分——与圆有关的综合问题 课件

第3课时难点专攻夺高分——与圆有关的综合问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，随着高考改革的变化，圆锥曲线的考查难度逐渐降低，而圆作为圆锥曲线中的一种特殊形式，命题的热度越来越高，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题．解决此类问题的关键是数形结合思想的运用．题型一与圆有关的轨迹问题[典例]已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．[解](1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．法三：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以AC―→·BC―→＝0.因为A(－1,0)，B(3,0)，C(x，y)，所以AC―→＝(x＋1，y)，BC―→＝(x－3，y)，所以AC―→·BC―→＝(x＋1)(x－3)＋y2＝x2－2x－3＋y2＝0，所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．[方法技巧]求与圆有关的轨迹问题的方法直接法直接根据题目提供的条件列出方程定义法根据圆、直线等定义列方程几何法利用圆的几何性质列方程代入法找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式[针对训练]阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA||PB|＝2，求|PA|2＋|PB|2的最小值．解：以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1,0)，B(1,0)．设P(x，y)，因为|PA||PB|＝2，所以x＋12＋y2x－12＋y2＝2，两边平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8.所以点P的轨迹是以(3,0)为圆心，22为半径的圆，则|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2.法一：因为x2＋y2－6x＋1＝0，所以|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋6x－1－x2)＋2＝12x.由y2＝8－(x－3)2≥0，得3－22≤x≤3＋22，所以36－242≤12x≤36＋242，由此可知|PA|2＋|PB|2的最小值为36－242.法二：由(x－3)2＋y2＝8，可设x＝22cosθ＋3，y＝22sinθ(θ∈[0,2π))，则|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2＝2[(22cosθ＋3)2＋(22sinθ)2]＋2＝242cosθ＋36.因为θ∈[0,2π)，所以－1≤cosθ≤1，所以36－242≤242cosθ＋36≤36＋242，由此可知|PA|2＋|PB|2的最小值为36－242.题型二与圆有关的范围或最值问题考法(一)几何法求最值[例1]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则(1)yx的最大值为______；(2)y－x的最大值和最小值分别为_____________；(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为______________________________．[解析]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6，所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)法一：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2.所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.法二：由x2＋y2－4x＋1＝0，得(x－2)2＋y2＝3.设x＝2＋3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)，则x2＋y2＝(2＋3cosθ)2＋(3sinθ)2＝7＋43cosθ.所以当cosθ＝－1时，(x2＋y2)min＝7－43，当cosθ＝1时，(x2＋y2)max＝7＋43.[答案](1)3(2)－2＋6，－2－6(3)7＋43，7－43[方法技巧]与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：常见类型解题思路μ＝y－bx－a型转化为动直线斜率的最值问题t＝ax＋by型转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解m＝(x－a)2＋(y－b)2型转化为动点与定点的距离的平方的最值问题考法(二)代数法求最值[例2]设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则PA―→·PB―→的最大值为________．[解析]由题意，知PA―→＝(2－x，－y)，PB―→＝(－2－x，－y)，所以PA―→·PB―→＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA―→·PB―→＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，PA―→·PB―→的值最大，最大值为6×4－12＝12.[答案]12[方法技巧]本题考查综合运用知识解决问题的能力．用代数法求最值的关键是建立所求问题的函数关系式，利用函数求最值的方法求解，在具体求解过程中要注意函数定义域的具体范围．[针对训练]1．已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为()A．1B．2C．3D．4解析：如图所示，由几何图形易知点M的坐标为M1，－1时，△OAM有最小值，其面积为S△OAM＝12×2×1＝1.故选A.答案：A2．已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是()A．2,2－52B．2＋52，2－52C.5，4－5D.52＋1，52－1解析：由题意知|AB|＝－12＋－22＝5，lAB：2x－y＋2＝0，由题意知圆C的圆心坐标为(1,0)，∴圆心到直线lAB的距离d＝|2－0＋2|4＋1＝455.∴S△PAB的最大值为12×5×455＋1＝2＋52，S△PAB的最小值为12×5×455－1＝2－52.答案：B3．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×12|PA|r＝|PA|＝|PC|2－r2，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，|PC|最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝|3－4＋11|32＋－42＝105＝2.所以四边形PACB面积的最小值为|PC|min2－r2＝4－1＝3.答案：3题型三构造辅助圆[典例]已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m,0)(m0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4[解析]根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.故选B.[答案]B[方法技巧]对于符合圆的特征的条件，可以构造辅助圆帮助思考．如利用圆的定义、圆周上90度的角所对弦是直径、四点共圆的特征来构造圆，做到图中无圆，心中有圆．[针对训练]1．椭圆x29＋y24＝1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点．当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是________．解析：由已知得a2＝9，b2＝4，c2＝5，F1(－5，0)，F2(5，0)．以F1F2为直径构造圆x2＋y2＝5.因为∠F1PF2为钝角，所以点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝5内，故x20＋y205，联立x209＋y204＝1消去y20，解得－355x0355.即点P横坐标的取值范围是－355，355.答案：－355，3552．在直角坐标平面内，与点O(0,0)距离为1，且与点A(－3,4)距离为4的直线共有________条．解析：如图所示，平面内，与点O距离为1的直线是单位圆的切线，与点A距离为4的直线是圆心为A、半径为4的圆的切线，同时符合这两个条件的直线就是两圆的公切线．不难判断两圆相外切，因而公切线有3条，即满足条件的直线共有3条．答案：3“课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（四十三）”(单击进入电子文档)谢谢观看