第二节 变量间的相关性与统计案例 课件

第二节变量间的相关性与统计案例核心素养立意下的命题导向1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系．2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程，凸显数学运算的核心素养．3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其应用，凸显数学建模、数据分析的核心素养．4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用，凸显数学建模、数据分析的核心素养．[理清主干知识]1．变量间的相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是_________；与函数关系不同，_________是一种非确定性关系．2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有_____________，这条直线叫________．(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为______，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为_______．相关关系相关关系线性相关关系回归直线正相关负相关(3)回归方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2，a^＝________.(4)相关系数当r0时，表明两个变量_______；当r0时，表明两个变量_______．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性____．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于_____时，认为两个变量有很强的线性相关性．y－b^x正相关负相关越强0.753．独立性检验(1)2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：y1y2总计x1ab_____x2cdc＋d总计a＋c_____a＋b＋c＋d(2)K2统计量K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．b＋da＋b[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(分类变量)为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力()A．回归分析B．均值与方差C．独立性检验D．概率解析：“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．答案：C2．(回归分析)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间具有线性相关关系，设其回归直线方程为y^＝b^x＋a^.已知∑10i＝1xi＝225，∑10i＝1yi＝1600，b^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A．160B．163C．166D．170解析：易知x＝22510＝22.5，y＝160010＝160.因为b^＝4，所以160＝4×22.5＋a^，解得a^＝70，所以回归直线方程为y^＝4x＋70，当x＝24时，y^＝96＋70＝166.故选C.答案：C3．(独立性检验)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．解析：K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.答案：5%二、易错点练清1．(独立性检验理解不当)某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝1000)，利用2×2列联表和K2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得K2＝4.453，经查阅临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是()A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”解析：由已知数据可得，有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．故选C.答案：C2．(忽视回归直线过样本点中心)已知变量x和y的统计数据如下表：x34567y2.5344.56根据上表可得回归直线方程为y^＝b^x－0.25，据此可以预测当x＝8时，y^＝()A．6.4B．6.25C．6.55D．6.45解析：由题意知x＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y＝2.5＋3＋4＋4.5＋65＝4，将点(5,4)代入y^＝b^x－0.25，解得b^＝0.85，则y^＝0.85x－0.25，所以当x＝8时，y^＝0.85×8－0.25＝6.55，故选C.答案：C考点一相关关系的判断[典例](1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关(2)某公司在2019年上半年的月收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出y5.635.755.825.896.116.18根据统计资料，则()A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系[解析](1)由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．(2)月收入的中位数是15＋172＝16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系．[答案](1)C(2)C[方法技巧]判断相关关系的2种方法散点图法如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系相关系数法利用相关系数判定，当|r|越趋近于1时，相关性越强[针对训练]1．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为①④.答案：D2．(2021·宁德质检)在一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组样本数据的相关系数为－1，则所有的样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)满足的方程可以是()A．y＝－12x＋1B．y＝x－1C．y＝x＋1D．y＝－x2解析：∵这组样本数据的相关系数为－1，∴这一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)线性相关，且是负相关，∴可排除B、C、D，故选A.答案：A考点二回归分析考法(一)线性回归方程[例1](2021·龙岩月考)某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动．活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x元．若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包．为了合理确定保费x的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表(其中y表示保费为x元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例)：x1020304050y0.790.590.380.230.01(1)根据上面的数据求出y关于x的回归直线方程；(2)通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为0.5%.已知更换一次该型号手机屏幕的费用为800元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x定为5元？参考数据：表中x的5个值从左到右分别记为x1，x2，x3，x4，x5，相应的y值分别记为y1，y2，y3，y4，y5，经计算有∑5i＝1(xi－x)(yi－y)＝－19.2，其中x＝15∑5i＝1xi，y＝15∑5i＝1yi.[解](1)由x＝30，y＝0.4，∑5i＝1(xi－x)(yi－y)＝－19.2，∑5i＝1(xi－x)2＝1000，得b^＝∑5i＝1xi－xyi－y∑5i＝1xi－x2＝－0.0192，a^＝y－b^x＝0.976，所以y关于x的回归直线方程为y＝－0.0192x＋0.976.(2)能把保费x定为5元．理由如下：若保费x定为5元，则估计y＝－0.0192×5＋0.976＝0.88，估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为2000000×0.88×5－2000000×0.88×0.5%×800－1000×1000＝0.76×106(元)＝76(万元)70(万元)，所以能把保费x定为5元．考法(二)相关系数[例2]我国大力发展校园足球，为了解某地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：年份x20142015201620172018足球特色学校y(百个)0.300.601.001.401.70(1)根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱；(已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关性很强；0.3≤|r|＜0.75，则认为y与x的线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x的线性相关性较弱)(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该地区2021年足球特色学校的个数(精确到个)．参考数据：i＝15(xi－x)2＝10，i＝15(yi－y)2＝1.3，i＝15(xi－x)·(yi－y)＝3.6，13≈3.6056.[解](1)由题得x＝15×(2014＋2015＋2016＋2017＋2018)＝2016，y＝15×(0.30＋0.60＋1.00＋1.40＋1.70)＝1，∴r＝i＝15xi－xyi－yi＝15xi－x2i＝15yi－y2＝3.610×1.3≈3.63.6056≈0.998＞0.7.∴y与x的线性相关性很强．(2)设y关于x的线性回归方程为y^＝a^＋b^x，则b^＝i＝15xi－xyi－yi＝15xi－x2＝3.610＝0.36，a^＝y－b^x＝1－0.36×2016＝－724.76，∴y关于x的线性回归方程是y^＝0.36x－724.76.当x＝2021时，y^＝0.36×2021－724.76＝2.8，故预测该地区2021年足球特色学校有280个．考法(三)非线性回归分析[例3]已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关．现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的7组观测数据，其散点图如图所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y和温度x可用方程y＝ebx＋a来拟合，令z＝lny，结合样本数据可知z与温度x可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：xyzi＝17(xi－x)2i＝17(zi－z)2i＝17(xi－x)(zi－z)27743.53718211.946.418表中zi＝lnyi，z＝17i＝17zi.(1)