【新高考复习】第六节 抛物线 教案

第六节抛物线核心素养立意下的命题导向1.结合抛物线的定义，考查求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象的核心素养．2．结合抛物线的几何性质及几何图形，求其相关性质及性质的应用能力，凸显数学运算、直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p23．抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1|FA|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝p22sinθ＝12|AB||d|＝12|OF|·|y1－y2|；(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(抛物线的标准方程)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±22xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±42x解析：选D由已知知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.2．(抛物线的定义)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716B．1516C.78D．0解析：选BM到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.3．(抛物线的性质)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：选D抛物线y2＝2px(p0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23p＋y2p＝1的焦点坐标为(±2p，0)．由题意得p2＝2p，解得p＝0(舍去)或p＝8.二、易错点练清1．(忽视抛物线的标准形式)抛物线y＝－2x2的准线方程是()A．x＝12B．x＝18C．y＝12D．y＝18解析：选D抛物线方程为x2＝－12y，所以p＝14，准线方程为y＝18.2．(忽视抛物线的开口方向)过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－92x或x2＝43yB．y2＝92x或x2＝43yC．y2＝92x或x2＝－43yD．y2＝－92x或x2＝－43y解析：选A设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝43y.故选A.3．(忽视焦点的位置)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为______________．解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4,0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.答案：y2＝16x或x2＝－8y考点一抛物线的定义及应用[典例](1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A．2B．3C．6D．9(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为________，此时点P的坐标为________．[解析](1)根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－p2的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以p2＝12－9，解得p＝6.故选C.(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.因为6＞2，所以点A在抛物线内部，如图所示．过点P作PQ⊥l于点Q，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|(运用定义进行转化)，当PA⊥l，即A，P，Q三点共线时，|PA|＋|PQ|最小(两点之间，线段最短)，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以所求点P的坐标为(2,2)．[答案](1)C(2)72(2,2)[方法技巧]1．利用抛物线的定义可解决的常见问题轨迹问题用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线距离问题涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化2．抛物线定义的应用规律[提醒]建立函数关系后，一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围，即函数的定义域．[针对训练]1．若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x＝－1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为()A．8B．213C．2＋41D．65解析：选D由题意可知，p＝2，F(1,0)，由抛物线的定义可知，|AF|＝xA＋p2＝xA＋1＝5，∴xA＝4，代入抛物线方程，得y2A＝16，不妨取点A为(4,4)．如图，设点F关于x＝－1的对称点为E，则E(－3,0)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PE|≥|AE|＝4＋32＋42＝65.2．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于________．解析：由V＝13πr2h＝13π×(2)2×PO＝223π，得PO＝2，则PB＝2，OE＝1，OC＝OD＝2.以E为坐标原点，OE为x轴，过E点与CD平行的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C(－1，2)．设抛物线的方程为y2＝－2px(p0)，∴(2)2＝－2p×(－1)，解得p＝1，故焦点到其准线的距离等于1.答案：1考点二抛物线的标准方程[典例](1)已知抛物线y2＝ax上的点M(1，m)到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝3xD．y2＝5x(2)设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x[解析](1)由题得点M()1，m到准线的距离为2，所以1＋a4＝2，解得a＝4.所以该抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)由已知得抛物线的焦点Fp2，0设点M(x0，y0)，则AF―→＝p2，－2，AM―→＝y202p，y0－2.由已知得，AF―→·AM―→＝0，即y20－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M8p，4.由|MF|＝5，得8p－p22＋16＝5.又p0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.[答案](1)B(2)C[方法技巧]抛物线的标准方程的求法(1)定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；②当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p0)和y2＝2px(p0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m0，开口向右；若m0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．[针对训练]1.如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x解析：选C如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝12|FC|＝32，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选C.2．已知抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Pm，m22p，则点Mm，－p2.因为焦点F0，p2，△FPM是等边三角形，所以m22p＋p2＝4，p2＋p22＋m2＝4，解得m2＝12，p＝2，因此抛物线方程为x2＝4y.答案：x2＝4y考点三抛物线的几何性质[典例](1)(2020·全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.14，0B.12，0C．(1,0)D．(2,0)(2)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.[解析](1)将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2p，不妨设D(2,2p)，E(2，－2p)．由OD⊥OE，可得OD―→·OE―→＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为12，0.(2)依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a＝1，b＝22，所以N(0,42)，|FN|＝4＋32＝6.[答案](1)B(2)6[方法技巧]抛物线几何性质的应用技巧(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．(2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键．[针对训练]1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B．2C.322D．22解析：选C由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，y1＝22.设AB的方程为x－1＝ty，由y2＝4x，x－1＝ty，消去x得y2－4ty－4＝0.所以y1y2＝－4，所以y2＝－2，x2＝12，所以S△AOB＝12×1×|y1－y2|＝322，故选C.2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，Q为抛物线上一点，连