【新高考复习】课时跟踪检测（四十六） 抛物线 作业

课时跟踪检测（四十六）抛物线一、基础练——练手感熟练度1．(2021·武汉模拟)已知抛物线y2＝2px(p0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12，则抛物线的标准方程为()A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：选B由抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12，根据抛物线的定义可得p2＝12，所以p＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝2x.故选B.2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为3，则抛物线的焦点坐标为()A．(3，0)B．(0，3)C．(23，0)D．(0,23)解析：选A抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为3，就是顶点到焦点的距离是3，即p2＝3，则抛物线的焦点坐标为(3，0)．故选A.3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝()A．2B．4C．6D．8解析：选D依题意，△OFM的外接圆半径为6，△OFM的外接圆圆心应位于OF的垂直平分线x＝p4上，圆心到准线x＝－p2的距离为6，即p4＋p2＝6，解得p＝8，故选D.4．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝42，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．1B．2C．3D．5解析：选A由|AB|＝42及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为22，代入y2＝4x得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2.又y2＝4x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2－1＝1，故选A.5．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|－|PE|的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选B因为抛物线y2＝8x，所以抛物线的准线方程为x＝－2，因为P在y轴上的投影为点E，所以|PE|即为点P到x＝－2的距离减去2，因为点P在该抛物线上，故点P到x＝－2的距离等于|PF|，所以|PE|＝|PF|－2，故|PF|－|PE|＝2，故选B.6．已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a)(a0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．答案：(1,0)二、综合练——练思维敏锐度1．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10x解析：选C∵抛物线y2＝2px，∴准线为x＝－p2.∵点P(2，y0)到其准线的距离为4，∴－p2－2＝4.∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析：选A由题意知抛物线的准线为x＝－14.因为|AF|＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝|AF|＝54x0，解得x0＝1.故选A.3．双曲线x2m－y2n＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A.316B．38C.163D．83解析：选A∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴双曲线中c＝1，又e＝2，∴1m＝2，∴m＝14，∴n＝34，∴mn＝316.4．已知点A(0,2)，抛物线C1：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶5，则a的值为()A.14B．12C．1D．4解析：选D依题意，点F的坐标为a4，0，如图，设点M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶5，则|KN|∶|KM|＝2∶1.∵kFN＝0－2a4－0＝－8a，kFN＝－|KN||KM|＝－2，∴8a＝2，解得a＝4.5．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线()A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OP解析：选B连接PF，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为4，则|AB|＝()A．6B．8C．12D．16解析：选D设Ay214，y1，By224，y2，F(1,0)．当AB⊥x轴时，|AB|＝4，S△AOB＝12|OF|·|AB|＝2，不成立，所以y2y224－1＝y1y214－1⇒y1y2＝－4.由△AOB的面积为4，得12|y1－y2|×1＝4，所以y21＋y22＝56，因此|AB|＝x1＋x2＋p＝y21＋y224＋2＝16.7．(2021年1月新高考八省联考卷)已知抛物线y2＝2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为()A．x＋2y＋1＝0B．3x＋6y＋4＝0C．2x＋6y＋3＝0D．x＋3y＋2＝0解析：选B把A(2,2)代入y2＝2px得p＝1，又直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，易得AB方程为y－2＝3(x－2)，AC方程为y－2＝－3(x－2)，联立AB方程和抛物线方程得B83－43，23－2，同理：C83＋43，－23－2，由B，C两点坐标可得直线BC的方程为3x＋6y＋4＝0，所以选B.8．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为93，则下列说法正确的是()A．△ABF是等边三角形B．|BF|＝3C．点F到准线的距离为3D．抛物线C的方程为y2＝6x解析：选ACD∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为34|BF|2＝93，∴|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.9．(2021·海口调研)若抛物线y2＝8x上一点P(m，n)到其焦点的距离为8m，则m＝______.解析：由题意得，抛物线的准线方程为x＝－2，又点P(m，n)到焦点的距离为8m，所以|PF|＝m＋2＝8m，解得m＝27.答案：2710．抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x＋4y＋25＝0上存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数p的取值范围是________．解析：由题得Ap2，0，B－p2，0，∵M在直线3x＋4y＋25＝0上，设点Mx，－3x－254，∴AM―→＝x－p2，－3x－254，BM―→＝x＋p2，－3x－254.又∠AMB＝90°，∴AM―→·BM―→＝x－p2·x＋p2＋－3x－2542＝0，即25x2＋150x＋625－4p2＝0，∴Δ≥0，即1502－4×25×(625－4p2)≥0，解得p≥10，或p≤－10，又p0，∴p的取值范围是[10，＋∞)．答案：[10，＋∞)11．已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC―→＝OA―→＋λOB―→，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝22x－p2，与y2＝2px联立，消去y得4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．设C(x3，y3)，则OC―→＝(x3，y3)＝OA―→＋λOB―→＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y23＝8x3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．已知点F为抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|＝16.(1)求抛物线C的方程；(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)当直线l的倾斜角为45°时，l的斜率为1，∵Fp2，0，∴l的方程为y＝x－p2.由y＝x－p2，y2＝2px，得x2－3px＋p24＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，∴|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝16，p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)假设满足题意的点P存在．设P(a,0)，由(1)知F(2,0)，①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，由y＝kx－2，y2＝8x得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，则x1＋x2＝4k2＋8k2，x1x2＝4.Δ＝[－(4k2＋8)]2－4·k2·4k2＝64k2＋640，∵直线PM，PN关于x轴对称，∴kPM＋kPN＝0，又kPM＝kx1－2x1－a，kPN＝kx2－2x2－a，∴k(x1－2)(x2－a)＋k(x2－2)(x1－a)＝k[2x1x2－(a＋2)(x1＋x2)＋4a]＝－8a＋2k＝0，∴a＝－2，此时P(－2,0)．②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可．综上，存在唯一的点P(－2,0)，使直线PM，PN关于x轴对称．三、自选练——练高考区分度1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经过抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为()A.7112＋26B．9＋10C.8312＋26D．9＋26解析：选D对于y2＝4x，令y＝1，得x＝14，即A14，1，结合抛物线的光学性质，得AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立可得，k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，据此可得xAxB＝1，∴xB＝1xA＝4.∴|AB|＝xA＋xB＋p＝254.将x＝4代入y2＝4x可得y＝±4，故B(4，－4)，∴|MB|＝4－32＋－4－12＝26.∴△ABM的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|＝3－14＋254＋26＝9＋26.故选D.2．(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()A．|AB|≥4B．|OA|＋|OB|8C．若点P(2,2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3D．△OAB的面积的最小值是2解析：选ACDF(1,0)，如图，不妨设A在第一象限．(1)若直线l斜率不存在，则A(1,2)，B(1，－2)，则|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|OA|＝25，S△OAB＝12×4×1＝2，显然B错误；(2)若直线l斜率存在，设直线l斜率为k，则直线l的方程为