【新高考复习】课时跟踪检测（五十七） 二项分布与正态分布 作业

课时跟踪检测（五十七）二项分布与正态分布1．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12B．0.42C．0.46D．0.88解析：选D因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式，知P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.2．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为()A.127B．23C.827D．49解析：选C由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于13的概率为P＝1－13＝23，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于13的概率为233＝827.故选C.3．(多选)(2021·济南模拟)已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.9973.A．该市学生数学成绩的期望为100B．该市学生数学成绩的标准差为100C．该市学生数学成绩及格率超过0.8D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等解析：选AC数学成绩X服从正态分布N(100,100)，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A正确，B错误；及格率为p1＝1－1－P100－10＜ξ＜100＋102＝0.84135，C正确；不及格概率为p2＝0.15865，优秀概率p3＝1－P100－20＜ξ＜100＋202＝0.02275，D错误．故选A、C.4．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3解析：选B由题知X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或0.6.又∵P(X＝4)＜P(X＝6)，即C410p4(1－p)6＜C610p6(1－p)4⇒(1－p)2＜p2⇒p＞0.5，∴p＝0.6，故选B.5．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A.110B．15C.25D．12解析：选C设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝12，P(AB)＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝PABPA＝1512＝25.故选C.6．一台机床有13的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为310，加工零件B时，停机的概率是25，则这台机床停机的概率为()A.1130B．730C.710D．110解析：选A假设总时间为1，则在1时间内，加工零件A停机的概率是13×310＝110，加工零件B停机的概率是1－13×25＝415，所以这台机床停机的概率是110＋415＝1130.7．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为()A.C35C14C45B．593×49C.35×14D．C14×593×49解析：选B由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为593×49.8．(2021·南昌月考)已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是________．解析：设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.由题意，P(A)＝42＋4＝23，P(B|A)＝3＋18＋1＝49，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝49×23＝827，所以两次都取到红球的概率为827.答案：8279．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝16；甲、乙两球都不落入盒子的概率为1－12×1－13＝13，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.答案：162310．(2021年1月新高考八省联考卷)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N0，2n，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.9545，至少要测量________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜2σ)＝0.9545)．解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.9545，则(μ－2σ，μ＋2σ)⊂(－0.5，0.5)且μ＝0，σ＝2n，∴0.5≥22n⇒n≥32.答案：3211．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差D(X)＝2.1，P(X＝3)P(X＝7)，则p＝________.解析：由题意可知，X～B(10，p)，∴10p1－p＝2.1，PX＝3PX＝7，即100p2－100p＋21＝0，p0.5，解得p＝0.7.答案：0.712．某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．若一个运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为23，34，35，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)＝1－P(ABC)＝1－13×14×25＝2930.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(ABC)＝130，P(ξ＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝1360，P(ξ＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝920，P(ξ＝3)＝P(ABC)＝310.所以ξ的分布列为ξ0123P1301360920310故E(ξ)＝0×130＋1×1360＋2×920＋3×310＝12160.13．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2019年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意)1212022015分(一般)2362490分(不满意)106344(1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率．(2)在2019年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率，求X的分布列和数学期望．(3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．解：(1)设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19,39,42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)＝19＋39100＝2950.(2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2，因为在2019年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人的概率是1575＝15，所以P(X＝0)＝C02×1－152＝1625，P(X＝1)＝C12×15×1－15＝825，P(X＝2)＝C22×152＝125，所以随机变量X的分布列为X012P1625825125故E(X)＝0×1625＋1×825＋2×125＝25.(3)从满意度的均值来分析问题如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：52×10＋12×5＋11×052＋12＋11＝11615，乘坐飞机的人满意度均值为：4×10＋14×5＋7×04＋14＋7＝225.因为11615225，所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．14．从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：(1)求这1000件产品质量指标的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(175.6Z224.4)；②已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z∈(175.6,224.4))的定价为16元；若为次品(质量指标值Z∉(175.6,224.4))，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出100件这种产品，用Y表示这100件产品的利润，求E(Y)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σZμ＋σ)≈0.68,P(μ－2σZμ＋2σ)≈0.95.解：(1)由题意得x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，∴s2＝(170－200)2×0.02＋(180－200)2×0.09＋(190－200)2×0.22＋(200－200)2×0.33＋(210－200)2×0.24＋(220－200)2×0.08＋(230－200)2×0.02＝150，即样本平均数为200，样本方差为150.(2)①由(1)可知，μ＝200，σ＝150≈12.2，∴Z～N(200,12.22)，∴P(175.6Z224.4)＝P(μ－2σZμ＋2σ)≈0.95.②设X表示100件产品的正品数，由题意得X～B()100，0.95，∴E(X)＝100×0.95＝95，∴E(Y)＝16E(X)－48×5－100×10＝280.