第五节 第1课时 系统知识牢基础——空间向量及其应用 课件

第五节空间向量及其应用第1课时系统知识牢基础——空间向量及其应用知识点一空间向量的概念及有关定理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有_____和_____的量相等向量方向_____且模_____的向量相反向量方向_____且模_____的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相_____或_____的向量共面向量平行于___________的向量大小方向相同相等相反相等平行重合同一个平面2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得_______.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x，y)，使p＝_______.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝___________，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc[重温经典]1．(教材改编题)若O，A，B，C为空间四点，且向量OA―→，OB―→，OC―→不能构成空间的一个基底，则()A．OA―→，OB―→，OC―→共线B．OA―→，OB―→共线C．OB―→，OC―→共线D．O，A，B，C四点共面解析：∵向量OA―→，OB―→，OC―→不能构成空间的一个基底，∴向量OA―→，OB―→，OC―→共面，因此O，A，B，C四点共面，故选D.答案：D2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE―→＝AA1―→＋xAB―→＋yAD―→，则x，y的值分别为()A．1,1B．1，12C.12，12`D.12，1解析：AE―→＝AA1―→＋A1E―→＝AA1―→＋12A1C1――→＝AA1―→＋12(AB―→＋AD―→)，故x＝12，y＝12.答案：C3．(多选)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，ON―→＝23OM―→，设OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，则下列等式成立的是()A．OM―→＝12b－12cB．AN―→＝13b＋13c－aC．AP―→＝14b－14c－34aD．OP―→＝14a＋14b＋14c解析：对于A，利用向量的四边形法则，OM―→＝12OB―→＋12OC―→＝12b＋12c，A错；对于B，利用向量的四边形法则和三角形法则，得AN―→＝ON―→－OA―→＝23OM―→－OA―→＝2312OB―→＋12OC―→－OA―→＝13OB―→＋13OC―→－OA―→＝13b＋13c－a，B对；对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以AN―→＝43AP―→＝13b＋13c－a，所以AP―→＝3413b＋13c－a＝14b＋14c－34a，C错；对于D，OP―→＝OA―→＋AP―→＝a＋14b＋14c－34a＝14a＋14b＋14c，D对，故选B、D.答案：BD4.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点，用AB―→，AD―→，AA1―→表示OC1―→，则OC1―→＝________________.解析：∵OC―→＝12AC―→＝12(AB―→＋AD―→)，∴OC1―→＝OC―→＋CC1―→＝12(AB―→＋AD―→)＋AA1―→＝12AB―→＋12AD―→＋AA1―→.答案：12AB―→＋12AD―→＋AA1―→5.如图所示，在四面体OABC中，OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE―→＝________(用a，b，c表示)．解析：OE―→＝OA―→＋AE―→＝a＋12AD―→＝a＋12(OD―→－OA―→)＝12a＋12OD―→＝12a＋12×12(OB―→＋OC―→)＝12a＋14b＋14c.答案：12a＋14b＋14c6．设a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，若a∥b，则x＝________.解析：∵a∥b，∴2x1＝13＝39，∴x＝16.答案：167．(易错题)给出下列命题：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；③已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc；④若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB―→＋BC―→＋CD―→＋DA―→＝0.其中为真命题的是________(填序号)．解析：若a与b共线，则a，b所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故②不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一个向量p才一定能表示为p＝xa＋yb＋zc，故③不正确；据向量运算法则可知④正确．答案：④知识点二两个向量的数量积及其运算1．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA―→＝a，OB―→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是______，若a，b＝π2，则称a与b_________，记作a⊥b.②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cosa，b．[0，π]互相垂直(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·b_________________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)_________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_________________模|a|_____________夹角a，b(a≠0，b≠0)cosa，b＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a21＋a22＋a23[重温经典]1．在空间四边形ABCD中，AB―→·CD―→＋AC―→·DB―→＋AD―→·BC―→的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：如图，令AB―→＝a，AC―→＝b，AD―→＝c，则AB―→·CD―→＋AC―→·DB―→＋AD―→·BC―→＝AB―→·(AD―→－AC―→)＋AC―→·(AB―→－AD―→)＋AD―→·(AC―→－AB―→)＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.答案：B2.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则|PC―→|等于()A．62B．6C．12D．144解析：∵PC―→＝PA―→＋AB―→＋BC―→，∴PC―→2＝PA―→2＋AB―→2＋BC―→2＋2AB―→·BC―→＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，∴|PC―→|＝12，故选C.答案：C3．(教材改编题)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．解析：cosa，b＝a·b|a||b|＝－2515.答案：－25154．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.解析：∵a⊥b，∴－8＋6＋x＝0，解得x＝2，故|b|＝－42＋22＋22＝26.答案：265．已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．解析：∵a＋b＝(cosθ＋sinθ，2，cosθ＋sinθ)，a－b＝(cosθ－sinθ，0，sinθ－cosθ)，∴(a＋b)·(a－b)＝(cos2θ－sin2θ)＋(sin2θ－cos2θ)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)，则a＋b与a－b的夹角是π2.答案：π26．(易错题)如图所示，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是________．解析：∵BD―→＝BF―→＋FE―→＋ED―→，∴|BD―→|2＝|BF―→|2＋|FE―→|2＋|ED―→|2＋2BF―→·FE―→＋2FE―→·ED―→＋2BF―→·ED―→＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD―→|＝3－2.答案：3－2知识点三空间中的平行与垂直的向量表示1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l__________，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．平行或重合2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1⊥l2n1⊥n2⇔________l∥αn⊥m⇔________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml⊥αn∥m⇔n＝λmα∥βn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα⊥βn⊥m⇔_______n1·n2＝0n·m＝0n·m＝0[重温经典]1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1,1,1)B．(1，－1,1)C.－33，－33，－33D.33，33，－33解析：设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则n·AB―→＝0，n·AC―→＝0，化简得－x＋y＝0，－x＋z＝0，∴x＝y＝z，故选C.答案：C2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于()A．3B．6C．－9D．9解析：∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，∴z＝－9.答案：C3．平面α的一个法向量为(1,2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)．若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－2解析：∵α∥β，∴两平面的法向量平行，∴－21＝－42＝k－2，∴k＝4.答案：C4．(教材改编题)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对解析：∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．答案：C5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．解析：以A为原点，分别以AB―→，AD―→，AA1―→所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M0，1，12，O12，12，0，N12，0，1.∵AM―→·ON―→＝0，1，12·0，－12，1＝0，∴ON与AM垂直．答案：垂直6．(易错题)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥BP交BP于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面EFD.证明：如图所示，以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．设DC＝a.(1)连接AC交BD于点G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E0，a2，a2.因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为a2，a2，0，所以PA―→＝(a,0，－a)，EG―→＝a2，0，－a2.则PA―→＝2EG―→，故PA∥EG.而EG