【新高考复习】第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教案

第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数核心素养立意下的命题导向1.将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养．2．结合方程、基本不等式、二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式、面积公式及最值问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．将三角函数的定义、三角函数符号的判断综合考查，凸显直观想象、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类角的分类按旋转方向不同分类正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．4．弧度制定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r25.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(多选·任意角的三角函数)下列说法中正确的是()A．－75°是第四象限角B．475°是第二象限角C．若sinα0，则α是第一、二象限的角D．若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－xx2＋y2解析：选ABA选项，－90°－75°0°，所以终边落在第四象限，A正确．B选项，475°＝115°＋360°，所以终边落在第二象限，B正确．C选项，若sinα0，则角α的终边落在第一、二象限及y轴正半轴上，所以C错误．D选项，cosα＝xx2＋y2，所以D错误．故选A、B.2．(象限角)已知α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．答案：一3．(弧长公式)已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．答案：π34．(三角函数的定义)已知角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝________.答案：255二、易错点练清1．(易忽视扇形公式中的α是弧度制)已知60°的圆心角所对的弧长为2，则该弧所在圆的半径为()A.130°B.6πC.160°D．3π答案：B2．(忽视对参数的讨论)已知角α的终边过点P(－8m,6m)(m≠0)，则sinα＝________.解析：由题意得x＝－8m，y＝6m，所以r＝10|m|.当m0时，sinα＝6m10m＝35；当m0时，sinα＝6m－10m＝－35.答案：35或－353．(忽视轴线角)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．解析：∵cosα≤0，sinα＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴3a－9≤0，a＋2＞0，∴－2＜a≤3.答案：(－2,3]考点一象限角及终边相同的角的表示[典例](1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则()A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0(2)与－2020°终边相同的最小正角是________．[解析](1)∵α是第四象限角，∴－π2＋2kπα2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ＜2α＜4kπ，k∈Z.∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin2α0，cos2α可正、可负、可为零．(2)因为－2020°＝(－6)×360°＋140°，所以140°与－2020°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有140°与－2020°终边相同，故与－2020°终边相同的最小正角是140°.[答案](1)D(2)140°[方法技巧]1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．2．确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．[针对训练]1．设集合M＝{x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z}，那么()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅解析：选B由于M＝{x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝{x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.故选B.2．已知角θ在第二象限，且sinθ2＝－sinθ2，则角θ2在()A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第三象限D．第四象限解析：选C∵角θ是第二象限角，∴θ∈2kπ＋π2，2kπ＋π，k∈Z，∴θ2∈kπ＋π4，kπ＋π2，k∈Z，∴角θ2在第一或第三象限．∵sinθ2＝－sinθ2，∴sinθ20，∴角θ2在第三象限．故选C.3．终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________．解析：如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内，满足条件的角有两个：－23π，－53π.故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π.答案：－53π，－23π，π3，43π考点二弧度制及其应用[典例]已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝π3，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．[解](1)因为α＝π3，R＝10cm，所以l＝|α|R＝π3×10＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5时，S取得最大值，此时l＝10，α＝2.(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝2π3cm，所以S弓形＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝2π3－3cm2.[方法技巧]应用弧度制解决问题的策略(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[针对训练]1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或4解析：选C设扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝6，12rl＝2，解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2.从而α＝lr＝41＝4或α＝lr＝22＝1.2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l等于()A.433πcmB．833πcmC．43cmD．83cm解析：选B设扇形的半径为rcm，如图．由sin60°＝6r，得r＝43cm，∴l＝|α|·r＝2π3×43＝833πcm.考点三任意角的三角函数的定义及应用考法(一)三角函数的定义[例1](1)函数y＝loga(x－3)＋2(a0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sinα＋cosα的值为()A.75B.65C.55D.355(2)我国古代数学家僧一行应用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htanθ.已知天顶距θ＝1°时，晷影长l≈0.14.现测得午中晷影长度l≈0.42，则天顶距θ为()(参考数据：tan1°≈0.0175，tan2°≈0.0349，tan3°≈0.0524，tan22.8°≈0.4204)A．2°B．3°C．11°D．22.8°[解析](1)因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝25，所以sinα＝55，cosα＝255，所以sinα＋cosα＝55＋255＝355.(2)由题意，可得晷影长l＝htanθ，且顶距θ＝1°时，晷影长l＝0.14.所以h＝1tanθ＝0.140.0175＝8，当晷影长度l≈0.42，则tanθ＝lh＝0.42g＝0.0524，所以θ＝3°.[答案](1)D(2)B[方法技巧]三角函数定义应用策略(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(4)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．考法(二)三角函数值符号的判断[例2](1)若sinαtanα0，且cosαtanα0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(2)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在[解析](1)由sinαtanα0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cosαtanα0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．(2)∵1弧度约等于57°，∴π22π，在第二象限，∴sin20，∵3弧度大于π2，小于π在第二象限，∴cos30，又∵4弧度大于π小于3π2，在第三象限，∴tan40，∴sin2·cos3·tan40.[答案](1)C(2)A[方法技巧]1．三角函数值符号及角的位置判断已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．2．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．[针对训练]1．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由题意知tanα0，cosα0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.2．已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，则cosα＝________，tanα＝________.解析：设P(x，y)．由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，即r＝3＋m2，所以sinα＝yr＝m3＋m2＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5.当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝xr＝－322＝－64，tanα＝yx＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，所以cosα＝xr＝－322＝－64，tanα＝yx＝153.答案：－64－153或1533.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它