【新高考复习】第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 教案

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式核心素养立意下的命题导向1.利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z.2．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(平方关系)若sinα＝55，π2απ，则cosα等于()A.55B．－55C．－255D.255答案：C2．(商数关系)已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为________．答案：33．(诱导公式)化简cosα－π2sin52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．答案：－sin2α二、易错点练清1．(忽视角所在的象限)已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα等于()A．－1213B．－513C.513D.1213答案：A2．(忽视诱导公式变名、变号的条件)计算下列各式的值：(1)sin－31π4＝________，(2)tan－26π3＝________.答案：(1)22(2)33．(忽视对k的讨论)已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．解析：当k为奇数时：A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.当k为偶数时：A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2.答案：{－2,2}考点一同角三角函数的基本关系考法(一)知弦求弦、切或知切求弦[例1](1)设cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k2(2)若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.125B．－125C.512D．－512[解析](1)∵cos(－80°)＝cos80°＝k，∴sin80°＝1－cos280°＝1－k2，∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.故选B.(2)法一：因为α为第四象限角，故cosα＝1－sin2α＝1－－5132＝1213，所以tanα＝sinαcosα＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sinα＝－513，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tanα＝yx＝－512.故选D.[答案](1)B(2)D[方法技巧]知弦求弦利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解知弦求切常通过平方关系，与对称式sinα±cosα，sinα·cosα建立联系，注意tanα＝sinαcosα的灵活应用知切求弦先利用商数关系得出sinα＝tanα·cosα或cosα＝sinαtanα，然后利用平方关系求解考法(二)知切求f(sinα、cosα)的值[例2](1)已知tan(3π＋α)＝3，则3sinα－cosα2sinα＋3cosα＝()A.13B.89C.23D．2(2)已知0απ2，sinα＝45，则sin2α＋2sinαcosαcos2α＋1－2sin2α的值为________．[解析](1)∵tan(3π＋α)＝3，∴tanα＝3，∴3sinα－cosα2sinα＋3cosα＝3tanα－12tanα＋3＝3×3－12×3＋3＝89.故选B.(2)∵0απ2，sinα＝45，∴cosα＝35，∴tanα＝43.∴sin2α＋2sinαcosαcos2α＋1－2sin2α＝sin2α＋2sinαcosα2cos2α－sin2α＝tan2α＋2tanα2－tan2α＝432＋2×432－432＝169＋832－169＝16＋2418－16＝402＝20.[答案](1)B(2)20[方法技巧]“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；②sinα，cosα的齐次分式如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tanα＝sinαcosα，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．[提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．考法(三)sinα±cosα与sinαcosα关系的应用[例3](1)已知sinαcosα＝38，且π4απ2，则cosα－sinα的值为()A.12B．±12C．－14D．－12(2)(多选)(2021·滨州模拟)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，则下列结论正确的是()A．sinθ＝45B．cosθ＝－35C．tanθ＝－34D．sinθ－cosθ＝75[解析](1)∵sinαcosα＝38，∴(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×38＝14，∵π4απ2，∴cosαsinα，即cosα－sinα0，∴cosα－sinα＝－12.(2)由题意知sinθ＋cosθ＝15，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125，∴2sinθcosθ＝－24250，又∵θ∈(0，π)，∴π2θπ，∴sinθ－cosθ0，∴sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝1－－2425＝4925＝75，∴sinθ＝45，cosθ＝－35.∴tanθ＝－43，∴A、B、D正确．[答案](1)D(2)ABD[方法技巧]正弦、余弦“sinα±cosα，sinα·cosα”的应用sinα±cosα与sinα·cosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝sinα＋cosα2－12，sinαcosα＝1－sinα－cosα22.因此在解题中已知1个可求另外2个．[针对训练]1．已知α∈(0，π)，cosα＝－35，则tanα＝()A.34B．－34C.43D．－43解析：选D∵cosα＝－35且α∈(0，π)，∴sinα＝1－cos2α＝45，∴tanα＝sinαcosα＝－43.故选D.2．若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α等于()A.6425B.4825C．1D.1625解析：选Atanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝cos2α＋4sinαcosαcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.3．已知sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为()A.56B．－56C.43D.34解析：选B由题可得，sinα＋cosα＝23，sinαcosα＝a3.所以sin2α＋cos2α＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝49－2a3＝1，解得a＝－56.考点二三角函数的诱导公式[典例](1)设f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.(2)已知cosπ6－θ＝a，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值是________．[解析](1)因为f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，所以f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.(2)因为cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a，sin2π3－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，所以cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.[答案](1)3(2)0[方法技巧]应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[针对训练]1．sin570°的值是()A．－12B.12C.32D．－32解析：选Asin570°＝sin(720°－150°)＝－sin150°＝－12.故选A.2．(2021·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tanπ2－α＝()A．22B．－22C.24D．±22解析：选D∵sin(π＋α)＝－13，∴sinα＝13，∴tanπ2－α＝cosαsinα＝±22.故选D.3．已知f(α)＝sinπ2－αtanπ＋α－cosπ－α2－14sin7π2＋α＋cos3π－α＋cos2π－α.(1)化简f(α)；(2)若－π3απ3，且f(α)14，求α的取值范围．解：(1)f(α)＝cosαtanα＋cosα2－1－4cosα－cosα＋cosα＝sinα＋cosα2－1－4cosα＝2sinαcosα－4cosα＝－12sinα.(2)由已知得－12sinα14，∴sinα－12，∴2kπ－π6α2kπ＋7π6，k∈Z.∵－π3απ3，∴－π6απ3.故α的取值范围为－π6，π3.创新思维角度——融会贯通学妙法勾股数与同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系主要研究平方关系与商数关系，在三角函数求值中，出现频率较高的勾股数有以下几组：(3,4，5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)，(1,1，2)，(1，3，2)，(1,2，5)，(1,3，10)等，熟悉它们之间的关系，能快速解决选填小题．1．已知tanα＝34，sinα0，则cosα＝()A.35B．－35C.45D．－45解析：选D由tanα＝34，想到勾股数(3,4,5)，结合sinα0，得cosα＝－45.2．已知α是第四象限角，sinα＝－1213，则tanα等于()A．－513B.513C．－125D.125解析：选C由α是第四象限角，且sinα＝－1213，所以tanα＝－125.3．已知cosπ2＋α＝32，且|α|＜π2，则tanα＝()A．－33B.33C．－3D.3解析：选C∵cosπ2＋α＝－sinα＝32，∴sinα＝－32.又∵|α|π2，∴－π2α0，∴cosα0，tanα0，∴tanα＝－3.[课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度1．已知x∈－π2，0，cosx＝45，则tanx的值为()A.34B．－34C.43D．－43解析：选B因为x∈－π2，0，所以sinx＝－1－cos2x＝－35，所以tanx＝sinxcosx＝－34.故选B.2．若sinπ－θ＋cosθ－2πsinθ＋cosπ＋θ＝12，则tanθ＝()A．1B．－1C．3D．－3解析：选D因为sinπ－θ＋cosθ－2πsinθ＋cosπ＋θ＝sinθ＋c