【新高考复习】课时跟踪检测（二十一） 函数y=A sin （ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用

课时跟踪检测（二十一）函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用一、基础练——练手感熟练度1．函数y＝2sin2x＋π4的振幅、频率和初相分别为()A．2，1π，π4B．2，12π，π4C．2，1π，π8D．2，12π，－π8解析：选A由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin2x＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.2．将函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数()A．在3π4，5π4上单调递增B．在3π4，π上单调递减C．在5π4，3π2上单调递增D．在3π2，2π上单调递减解析：选A把函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g(x)＝sin2x－π10＋π5＝sin2x的图象，由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得3π4≤x≤5π4，即函数g(x)＝sin2x的一个单调递增区间为3π4，5π4.3．函数f(x)＝tanωx(ω0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为π2，则fπ6的值是()A．－3B．33C．1D．3解析：选D由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，即ω＝2，∴f(x)＝tan2x.∴fπ6＝tanπ3＝3.4.(2021·扬州检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω0，－π2φπ2)的部分图象如图所示，则φ的值为()A．－π3B．π3C．－π6D．π6解析：选B由题图，得T2＝π3－－π6＝π2，所以T＝π，由T＝2πω，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为fπ3＝sin2π3＋φ＝0，－π2φπ2，所以φ＝π3.5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acosπ6x－6(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为_______℃.解析：依题意知，a＝28＋182＝23，A＝28－182＝5，所以y＝23＋5cosπ6x－6，当x＝10时，y＝23＋5cosπ6×4＝20.5.答案：20.56．若将函数y＝sin2x的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝π6对称，则φ的最小值为________．解析：平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，∵图象关于x＝π6对称，∴2·π6－2φ＝kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝－k2π－π12(k∈Z)，又∵φ0，∴当k＝－1时，φ的值最小，为5π12.答案：5π12二、综合练——练思维敏锐度1．(多选)要得到y＝sin2x－π5的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点()A．向右平行移动π5个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍B．向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍C．横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动π5个单位长度D．横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度解析：选AD将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动π5个单位长度，得到函数y＝sinx－π5的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y＝sin2x－π5的图象，故A正确；将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，得到函数y＝sinx－π10的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y＝sin2x－π10的图象，故B错误；将函数y＝sinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到y＝sin2x的图象，再把所得各点向右平行移动π5个单位长度，得到y＝sin2x－2π5的图象，故C错误；将函数y＝sinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到y＝sin2x的图象，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，得到y＝sin2x－π5的图象，故D正确．故选A、D.2．在平面直角坐标系xOy中，将函数f(x)＝sin3x＋π4的图象向左平移φ(φ0)个单位后得到的图象经过原点，则φ的最小值为()A.π3B．π4C.π6D．π12解析：选B将函数f(x)＝sin3x＋π4的图象向左平移φ(φ0)个单位后得到的图象对应的解析式为y＝sin[3(x＋φ)＋π4]，因为其图象经过原点，所以sin(3φ＋π4)＝0，所以3φ＋π4＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ3－π12(k∈Z)，又φ0，所以φ的最小值为π3－π12＝π4，故选B.3.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则函数g(x)＝fx－3πφ的最小正周期为()A．πB．2πC．4πD．π2解析：选A根据函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象，可得T4＝712π－π3＝π4，∴T＝π＝2πω，∴ω＝2.点π3，0是五点作图的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，∴φ＝－π6，∴f(x)＝cos2x－π6.∴g(x)＝fx－3πφ＝cos2x－π6＋12，易知y＝g(x)与y＝cos2x－π6＋12的最小正周期相同，均为T＝2π2＝π.故选A.4．(多选)将函数f(x)＝cos2x的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有的性质为()A．最大值为1，图象关于直线x＝π2对称B．为奇函数，在0，π4上单调递增C．为偶函数，在－3π8，π8上单调递增D．周期为π，图象关于点π2，0对称解析：选BD将函数f(x)＝cos2x的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)＝cos2x－π4＝sin2x的图象，则函数g(x)的最大值为1，其图象关于直线x＝kπ2＋π4(k∈Z)对称，故选项A不正确；函数g(x)为奇函数，当x∈0，π4时，2x∈0，π2，故函数g(x)在0，π4上单调递增，故选项B正确，选项C不正确；函数g(x)的周期为π，其图象关于点kπ2，0(k∈Z)对称，故选项D正确．故选B、D.5．(2021·大同一中质检)将函数f(x)＝tanωx＋π3(0ω10)的图象向右平移π6个单位长度之后与函数f(x)的图象重合，则ω＝()A．9B．6C．4D．8解析：选B函数f(x)＝tanωx＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f(x)＝tanωx－π6＋π3＝tanωx－ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－6k(k∈Z)．又0ω10，∴ω＝6.故选B.6．(多选)将函数f(x)＝sinωx(ω0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，若函数g(x)在区间0，π2上是单调增函数，则实数ω可能的取值为()A.23B．1C.65D．2解析：选ABC由题意知g(x)＝sinωx－π12，g(x)的一个增区间为π12－T4，π12＋T4，要使g(x)在0，π2上单调递增，只需π12－T4≤0，π12＋T4≥π2其中T＝2πω，ω0，解得0ω≤65，故选A、B、C.7.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，φ∈π2，π)的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝52，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是()A．g(x)＝2cosπ3xB．g(x)＝2sinπ3x＋2π3C．g(x)＝2sin2π3x＋π3D．g(x)＝－2cosπ3x解析：选A设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|＝52，得T4＝32，则T＝6，ω＝π3.又由f(0)＝1，φ∈π2，π得sinφ＝12，φ＝5π6.所以f(x)＝2sin(π3x＋5π6).则g(x)＝2sinπ3x－1＋5π6＝2cosπ3x.故选A.8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则y＝fx＋π6取得最小值时，x的集合为______________________．解析：根据所给图象，周期T＝4×7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|π2，得φ＝－π6，∴f(x)＝sin2x－π6，∴fx＋π6＝sin2x＋π6，当2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，y＝fx＋π6取得最小值．答案：x|x＝kπ－π3，k∈Z9．将函数f(x)＝2sinx图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移π12个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)＝________；若函数g(x)在区间0，a3，2a，7π6上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：将函数f(x)＝2sinx图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝2sin2x的图象；再向左平移π12个单位长度得到g(x)＝2sin2x＋π6的图象．若函数g(x)在区间0，a3，2a，7π6上单调递增，则2·a3＋π6≤π2，2·2a＋π6≥3π2，解得π3≤a≤π2，所以实数a的取值范围是π3，π2.答案：2sin2x＋π6π3，π210．已知函数f(x)＝cosωx＋sinωx＋π6(ω0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________．解析：f(x)＝cosωx＋sinωx＋π6＝32cosωx＋32sinωx＝3sinωx＋π3，由x∈[0，π]，ω0，得ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3.因为f(x)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，所以2π≤ωπ＋π35π2，解得53≤ω136，所以ω的取值范围是53，136.答案：53，13611．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图象过点Pπ12，0，图象上与点P最近的一个最高点是Qπ3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间．解：(1)依题意得A＝5，周期T＝4π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点Pπ12，0，∴5sinπ6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝kπ(k∈Z)，∵|φ|π2，∴φ＝－π6，∴y＝5sin2x－π6.(2)由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．12.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；(2)若方程f(x)＋2cos4x＋π3＝a有实数解，求a的取值范围．解：(1)由图可得A＝2，T2＝2π3－π6＝π2，所以T＝π，所以ω＝2.当x＝π6时，f(x)＝2，可得2sin2×π6＋φ＝2，因为|φ|π2，所以φ＝π6.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.令2x＋π6＝kπ(k∈Z)