【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 §1.2　充分条件与必要条件

§1.2充分条件与必要条件考试要求理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√)(3)q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)(4)若p⇒q，则p是q的充分不必要条件．(×)题组二教材改编2．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要3．“sinα＝sinβ”是“α＝β”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案必要不充分4．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．答案m＝－2题组三易错自纠5．设x0，y∈R，则“xy”是“x|y|”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由xy推不出x|y|，由x|y|能推出xy，所以“xy”是“x|y|”的必要不充分条件．6．已知p：xa是q：2x3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由已知，可得{x|2x3}{x|xa}，∴a≤2.题型一充分、必要条件的判定例1(1)已知p：12x1，q：log2x0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由12x1知x0，所以p对应的x的范围为(0，＋∞)，由log2x0知0x1，所以q对应的x的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p是q的必要不充分条件．(2)“a2，b2”是“a＋b4，ab4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a2，b2，则a＋b4，ab4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b4，ab4，但不满足a2，b2，所以a＋b4，ab4⇏a2，b2，故“a2，b2”是“a＋b4，ab4”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练1(1)已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．(2)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ(1－λ)－6(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，经检验λ＝1或λ＝－3时两直线平行，故选A.题型二充分、必要条件的应用例2已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，∴0≤m≤3.1＋m≤10，∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．若将本例中条件改为“若x∈A是x∈B的必要不充分条件”，求m的取值范围．解由x∈A是x∈B的必要不充分条件，知BA，∴1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m10或1－m≤1＋m，1－m－2，1＋m≤10，解得0≤m≤3或0≤m3，∴0≤m≤3，故m的取值范围是[0,3]．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2(1)使2x≥1成立的一个充分不必要条件是()A．1x3B．0x2C．x2D．0x≤2答案B解析由2x≥1得0x≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若关于x的不等式|x－1|a成立的充分不必要条件是0x4，则实数a的取值范围是________．答案[3，＋∞)解析|x－1|a⇒1－ax1＋a，因为不等式|x－1|a成立的充分不必要条件是0x4，所以(0,4)(1－a,1＋a)，所以1－a≤0，1＋a4或1－a0，1＋a≥4，解得a≥3.题型三充要条件的探求例3已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，所以m≠0.又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，所以Δ1＝161－m≥0，Δ2＝16m2－44m2－4m－5≥0，解得m∈－54，1.因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以4m∈Z，4m∈Z，4m2－4m－5∈Z.所以m为4的约数．又因为m∈－54，1，所以m＝－1或1.当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；而当m＝1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.思维升华探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．跟踪训练3(1)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4B．a4C．a≥1D．a1答案B解析要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a4是命题为真的充分不必要条件．(2)(2020·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．答案ac0解析ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是Δ＝b2－4ac0，ca0.即ac0.课时精练1．“log2(2x－3)1”是“4x8”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由log2(2x－3)1⇔02x－32⇔32x52，4x8⇔2x3⇔x32，所以“log2(2x－3)1”是“4x8”的充分不必要条件，故选A.2．设a，b∈R，则“(a－b)a20”是“ab”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由(a－b)a20可知a2≠0，则一定有a－b0，即ab；但是ab即a－b0时，有可能a＝0，所以(a－b)a20不一定成立，故“(a－b)a20”是“ab”的充分不必要条件，故选A.3．“|x－1|2”是“x3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由|x－1|2，可得－1x3，∵{x|－1x3}{x|x3}，∴“|x－1|2”是“x3”的充分不必要条件．4．“x0”是“ln(x＋1)0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由ln(x＋1)0⇒0x＋11，即－1x0，故“x0”是“ln(x＋1)0”的必要不充分条件，故选B.5．若“x1”是“不等式2xa－x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A．a3B．a3C．a4D．a4答案A解析若2xa－x，即2x＋xa.设f(x)＝2x＋x，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x＋xa成立，即f(x)a成立”能得到“x1”，反之不成立．因为当x1时，f(x)3，∴a3.6．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，－1]答案B解析由q：(x＋1)(2－x)0，得x－1或x2，又p是q的充分不必要条件，所以k2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.7．(多选)若x2－x－20是－2xa的充分不必要条件，则实数a的值可以是()A．1B．2C．3D．4答案BCD解析由x2－x－20，解得－1x2.∵x2－x－20是－2xa的充分不必要条件，∴(－1,2)(－2，a)，∴a≥2.∴实数a的值可以是2,3,4.8．(多选)下列说法正确的是()A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件B．“1a1b”是“ab”的既不充分也不必要条件C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆BD．“ab0”是“anbn(n∈N，n≥2)”的充要条件答案BC解析A项，ac＝bc不能推出a＝b，比如a＝1，b＝2，c＝0，而a＝b可以推出ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故错误；B项，1a1b不能推出ab，比如12－13，但是2－3；ab不能推出1a1b，比如－23，－1213，所以“1a1b”是“ab”的既不充分也不必要条件，故正确；C项，因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以x∈A可以推出x∈B，即A⊆B，故正确；D项，anbn(n∈N，n≥2)不能推出ab0，比如a＝1，b＝0,1n0n(n∈N，n≥2)满足，但是ab0不满足，所以必要性不满足，故错误．9．已知命题p：1a14，命题q：∀x∈R，ax2＋ax＋10，则p成立是q成立的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析命题p等价于0a4.命题q：对∀x∈R，ax2＋ax＋10等价于a＝0，10或a0，a2－4a0，则0≤a4，所以命题p成立是命题q成立的充分不必要条件．10．已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析∵函数f(x)是奇函数，∴若x1＋x2＝0，则x1＝－x2，则f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)＝0，满足f(x)是奇函数，当x1＝x2＝2时，满足f(x1)＝f(x2)＝0，此时满足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要条件．11．若x∈{－1，m}是不等式2x2