【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第3章 §3.1　导数的概念及运算

§3.1导数的概念及运算[考试要求]1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率．了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．1．导数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或0|xxy，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．5．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．微思考1．根据f′(x)的几何意义思考一下，随着|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．2．函数f(x)在点P处的切线与函数f(x)过点P的切线有什么区别？提示在点P处的切线，点P一定是切点；过点P的切线，点P不一定是切点．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(×)(3)f(x)在某点处的切线与f(x)过某点处的切线意义相同．(×)(4)若f(x)＝2x，则f′(x)＝x·2x－1.(×)题组二教材改编2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为()A．9.1米/秒B．6.75米/秒C．3.1米/秒D．2.75米/秒答案C解析h′(t)＝－9.8t＋8，∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.3．已知函数f(x)＝xlnx＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝.答案－1e解析f′(x)＝1＋lnx＋2ax，∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－1e.4．函数f(x)＝ex＋1x在x＝1处的切线方程为．答案y＝(e－1)x＋2解析f′(x)＝ex－1x2，∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.题组三易错自纠5．已知函数f(x)＝xcosx＋asinx在x＝0处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，则实数a的值为．答案2解析f′(x)＝cosx＋x·(－sinx)＋acosx＝(1＋a)cosx－xsinx，∴f′(0)＝1＋a＝3，∴a＝2.6．已知函数f(x)＝ln(3－2x)＋e2x－3，则f′(x)＝.答案22x－3＋2e2x－3解析f′(x)＝13－2x·(3－2x)′＋e2x－3·(2x－3)′＝22x－3＋2e2x－3.题型一导数的运算1．(多选)下列求导运算正确的是()A．(sina)′＝cosa(a为常数)B．(sin2x)′＝2cos2xC．(x)′＝12xD．(ex－lnx＋2x2)′＝ex－1x＋4x答案BCD解析∵a为常数，∴sina为常数，∴(sina)′＝0，故A错误．由导数公式及运算法则知B，C，D正确，故选BCD.2．已知函数f(x)＝sinxcosx＋1x2，则f′(x)＝.答案1cos2x－2x3解析f′(x)＝sinx′·cosx－sinx·cosx′cos2x＋(x－2)′＝cos2x＋sin2xcos2x＋(－2)x－3＝1cos2x－2x3.3．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝.答案e2解析f′(x)＝12x－3·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝22x－3＋ae－x－axe－x，∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2.4．(2020·葫芦岛模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，则f(1)＝.答案－74解析∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋1x，将x＝1代入，得f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得f′(1)＝54.∴f(x)＝2x2－154x＋lnx，∴f(1)＝2－154＝－74.思维升华(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．题型二导数的几何意义命题点1导数与函数图象例1(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案B解析由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝.答案0解析由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×－13＝0.命题点2求切线方程例2(1)(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1答案B解析f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为．答案x－y－1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x.∴由y0＝x0lnx0，y0＋1＝1＋lnx0x0，解得x0＝1，y0＝0.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.命题点3求参数的值(范围)例3(1)(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1答案D解析因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以ae＋1＝2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.(2)(2020·淄博联考)若函数f(x)＝lnx＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是．答案[2，＋∞)解析直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴f′(x)＝1x＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，则a＝4x＋1x－2，x0.又4x＋1x≥24x·1x＝4，当且仅当x＝12时取“＝”．∴a≥4－2＝2.∴a的取值范围是[2，＋∞)．思维升华(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上．跟踪训练(1)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为()A．(1,3)B．(－1,3)C．(1,3)或(－1,3)D．(1，－3)答案C解析设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又直线x＋2y－1＝0的斜率为－12，∴f′(x0)＝3x20－1＝2，∴x20＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴y0＝x30－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1,3)或(－1,3)．(2)函数y＝x－1x＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为()A.18B.14C.12D．1答案B解析∵y＝x－1x＋1，∴y′＝x＋1－x－1x＋12＝2x＋12，∴k＝y′|x＝0＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x－0)，即y＝2x－1，令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝12，故所求的面积为12×1×12＝14.(3)(2021·乐山调研)已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是()A.3，72B．(3，＋∞)C.－∞，72D．(0,3)答案A解析f′(x)＝2e2x－2ex＋a，依题意知f′(x)＝3有两个实数解，即2e2x－2ex＋a＝3有两个实数解，即a＝－2e2x＋2ex＋3有两个实数解，令t＝ex，∴t0，∴a＝－2t2＋2t＋3(t0)有两个实数解，∴y＝a与φ(t)＝－2t2＋2t＋3(t0)的图象有两个交点，φ(t)＝－2t2＋2t＋3＝－2t－122＋72，∵t0，∴φ(t)max＝φ12＝72，又φ(0)＝3，故3a72.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．例1已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝.答案8解析方法一因为y＝x＋lnx，所以y′＝1＋1x，y′|x＝1＝2.所以曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，所以a≠0(当a＝0时曲线