【新高考复习】02卷 第七章　立体几何与空间向量《真题模拟卷》－2022年高考一轮数学单元复习（新

02卷第七章立体几何与空间向量《真题模拟卷》－2022年高考一轮数学单元复习（新高考专用）第I卷（选择题）一、单选题1．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，ABCDO，且ABCD，3SOOB，14SESB，异面直线SC与OE所成角的正切值为（）A．222B．53C．1316D．113【答案】D【分析】以,,ODOBOS为,,xyz轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．【详解】由题意以,,ODOBOS为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，(0,3,0)A，(0,3,0)B，(3,0,0)C，(0,0,3)S，又14SESB，1139(0,0,3)(0,3,3)(0,,)4444OEOSSEOSSB．(3,0,3)SC，则27354cos,31010324OESCOESCOESC，设异面直线SC与OE所成角为，则35coscos,10OESC，为锐角，55sin10，所以55sin1110tancos33510＝．故选：D．2．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若PAa，PBb，PCc，则用基底,,abc表示向量BE为（）A．111222abcB．131222abcC．111222abcD．113222abc【答案】B【分析】结合空间向量的加法法则直接求解BE即可.【详解】连接BD，如图，因为E是PD的中点，所以11()()22BEBPBDbBABC11()22bPAPBPCPB11131(2)22222bacbabc，故选：B3．已知点1,1,2A，2,1,1B，3,3,2C，又点,7,2Px在平面ABC内，则x的值为（）A．11B．9C．1D．4【答案】B【分析】根据向量的坐标表示求出向量APABAC、、的坐标，再结合空间向量的共面定理即可得出结果.【详解】由题意，得(112)(211)(332)(72)ABCPx，，，，，，，，，，，，则(184)(101)(240)APxABAC，，，，，，，，，因为P在平面ABC内，并设未知数a，b，则APaABbAC，(184)(101)(240)xab，，，，，，，即1280440xabba，解得9x.故选：B4．若(113)Amn，，、(22)Bmnmn，，、(339)Cmn，，三点共线，则mn（）．A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】直接根据1123226mmn求解即可.【详解】∵(1123)ABmmn，，，(226)AC，，，由题意得//ABAC，则1123226mmn，∴0m、0n，∴0mn，故选:A．5．已知(121)a，，，(121)ab，，，则b（）．A．(202)，，B．(242)，，C．(242)，，D．(213)，，【答案】C【分析】由空间向量的加法运算求解.【详解】因为(121)a，，，(121)ab，，，所以(121)(121)(121)(242)ba，，，，，，，，，故选：C．6．点(023)A，，在空间直角坐标系中的位置是（）．A．在x轴上B．在xOy平面内C．在yOz平面内D．在xOz平面内【答案】C【分析】根据点A的横坐标为0判断.【详解】∵点A的横坐标为0，∴点(023)A，，在yOz平面内，故选：C．7．已知空间向量a，b，c满足0abc，1a，2b，7c，则a与b的夹角为（）A．30°B．45C．60D．90【答案】C【分析】将abc，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.【详解】设a与b的夹角为．由0abc，得abc，两边平方，得2222aabbc，所以1212cos47，解得1cos2，又0，，所以60，故选：C．8．平行六面体1111ABCDABCD的各棱长均相等，90BAD，1160DAAAAB，则异面直线1BD与1DA所成角的余弦值为（）A．26B．36C．33D．63【答案】B【分析】利用基底向量1,,ABADAA表示出向量1BD，1DA，即可根据向量的夹角公式求出．【详解】如图所示：不妨设棱长为1，11DAAAAD，111BAADDDABADAABD，所以11BDDA＝11AAADABADAA＝221112AAABAAAD，111DAAAAD，113ABADAABD，即11132cos,63DBDA，故异面直线1BD与1DA所成角的余弦值为36．故选：B．二、多选题9．给出下列命题，其中为假命题的是（）A．已知n为平面的一个法向量，m为直线l的一个方向向量，若nm，则//lB．已知n为平面的一个法向量，m为直线l的一个方向向量，若2,3nm，则l与所成角为6C．若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面D．已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数,,xyz使得pxaybzc【答案】ACD【分析】根据直线与平面的位置关系、线面角的定义、向量共面的定理，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：由题意可得//l或l，故A错误；对于B：由图象可得，23CAD，则3DAB，所以6ADB，根据线面角的定义可得：l与所成角为6，故B正确对于C：若三个向量a，b，c两两共面，但三个向量不一定共面，故C错误；对于D：当空间的三个向量a，b，c不共面时，对于空间的任意一个向量p，总存在实数,,xyz使得pxaybzc，故D错误.故选：ACD10．在平行六面体1111ABCDABCD中，12ABADAA，1160AABDABAAD，则下列说法正确的是（）A．线段1AC的长度为26B．异面直线11BDBC，夹角的余弦值为13C．对角面11BBDD的面积为43D．平行六面体1111ABCDABCD的体积为42【答案】AD【分析】设1,,ABaADbAAc，求得2222,4ababc，根据1ACabc，求得1AC的值，可判定A正确；由110BDBC，可判定B错误；由ABD△为正三角形，根据10DDDB，得到对角面11BDDB为矩形，可判定C错误；由16AABDVV，可判定D正确.【详解】设1,,ABaADbAAc，则22222cos602,4acbcababc，对于A中，因为1ACabc，可得2221=2222426ACabcabcabacbc，所以A正确；对于B中，因为2211()()0BDBCbcabccbacab，可得异面直线1BD与1BC夹角的余弦值为0，所以B错误；对于C中，因为2,60ABADDAB，所以ABD△为正三角形，可得2BD，因为1()0DDDBcabcacb，所以1DDBD，所以对角面11BDDB为矩形，其面积为22=443，所以C错误；对于D中，设AC与BD交于点O，连接1OA，取1AA的中点M，连接OM，可得11116622224232AABDAAOVVSBD，所以D正确.故选：AD.11．定义向量的外积：ab叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1）()aab，()bab，且a､b和ab构成右手系(三个向量的方向依次与拇指､食指､中指的指向一致)；（2）ab的模sin,ababab(ab，表示向量a､b的夹角).如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，有以下四个结论中，不正确的有（）A．1ABAC与1BD方向相反B．ABACBCABC．6||BCAC与正方体表面积的数值相等D．1()ABABCB与正方体体积的数值相等【答案】ABD【分析】由向量的外积的性质逐个分析判断即可【详解】A选项，根据向量外积的第一个性质可知1ABAC与1BD的方向相同，故A错，B选项，根据向量外积的第一个性质可知ABAC与BCAB的方向相反，不可能相等，故B错，C选项，根据向量外积的第二个性质可知正方形ABCD的面积为sin4BCACBCAC，则6||BCAC与正方体表面积的数值相等，故C对，D选项，1ABAB与CB的方向相反，则1()0ABABCB，故D错，故选：ABD.12．给出下列命题，其中不正确的为（）A．若ABCD，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段B．若0ab，则ab，是钝角C．若0ABCD，则AB与CD一定共线D．非零向量a､b､c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a､b､c必共面【答案】ABD【分析】对于ABD，可直接举反例说明，C选项根据共线向量性质可得.【详解】A选项，考虑平行四边形ABDC中，满足ABCD，不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，故A错，B选项，当两个非零向量a､b的夹角为时，满足0ab，但它们的夹角不是钝角，故B错，C选项，当0ABCD时，ABCD，则AB与CD一定共线，故C对，D选项，考虑三棱柱111ABCABC，ABa､ACb､1AAc，满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，但a，b，c不共面，故D错，故选ABD.13．下列命题中不正确的是（）.A．若A､B､C､D是空间任意四点，则有0ABBCCDDAB．若||||ab，则a､b的长度相等而方向相同或相反C．||||||abab是a､b共线的充分条件D．对空间任意一点P与不共线的三点A､B､C，若OPxOAyOBzOCuuuruuruuuruuur(xyzR，，)，则P､A､B､C四点共面【答案】ABD【分析】本题考察向量的概念与性质，需按个选项分析，A选项考察向量加法的意义，B选项考察向量的模的性质，C选项可以两边平方计算，D选项考察四点共面的性质.【详解】A选项，0ABBCCDDAuuuruuuruuuruuurr而不是0，故A错，B选项，||||ab仅表示a与b的模相等，与方向无关，故B错，C选项，||||||abab2222|2|2aabbaabb，即222cosabababab，，即cos1ab，，a与b方向相反，故C对，D选项，空间任意一个向量OP都可以用不共面的三个向量OA､OB､OC表示，∴P､A､B､C四点不一定共面，故D错，故选ABD.14．在正方体1111ABCDABCD中，点P在线段1BC上运动，下列说法正确的是（）A．平面1PAC平面11ABDB．//DP平面11ABDC．异面直线DP与1AD所成角的取值范围是0,3D．三棱锥11DAPB的体积不变【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则1,0,0A，11,1,1B，10,0,1D，0,1,0C，11,0,1A，0,0,0D，因为点P在线段1BC上运动，设,1,1Ptt，0,1t，则,1,1DPtt，所以10,1,1AB，11,0,1AD，11,1,1CA，所以110111110ABCA，110111110ADCA，所以11ABCA，11ADCA，因为11ABADA，11,ABAD平面11ABD，所以1AC