【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8.2　两条直线的位置关系

§8.2两条直线的位置关系考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．一、两条直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.(2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.2．两条直线垂直(1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.二、两条直线的交点坐标已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．三、三种距离公式1．两点间的距离公式(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(2)结论：|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝x2＋y2.2．点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.3．两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.微思考1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1不同时为0；A2，B2不同时为0)，则l1∥l2的充要条件是什么，l1⊥l2的充要条件是什么？提示l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且B1C2≠B2C1(或A1C2≠A2C1)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点的坐标是什么？提示(2a－x0,2b－y0)．3．点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线y＝kx＋b(k≠0)对称，列出P，Q坐标的关系式．提示y2－y1x2－x1·k＝－1，y1＋y22＝k·x1＋x22＋b.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(√)(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2.(×)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)题组二教材改编2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.答案1解析由题意知m－4－2－m＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．答案－9解析由y＝2x，x＋y＝3，得x＝1，y＝2.所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.4．两平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________．答案21313解析因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝|－8－－10|22＋32＝21313.题组三易错自纠5．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于()A．2B．－3C．2或－3D．－2或－3答案C解析直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2(m≠0)，故m＝2或－3.故选C.6．(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是()A．(2,0)B．(0,2)C．(4,6)D．(6,4)答案AC解析设B(x，y)，根据题意可得kAC·kBC＝－1，|BC|＝|AC|，即3－43－0·y－3x－3＝－1，x－32＋y－32＝0－32＋4－32，解得x＝2，y＝0或x＝4，y＝6，所以B(2,0)或B(4,6)．故选AC.题型一两条直线的平行与垂直1．已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于()A．－1B．2C．0或－2D．－1或2答案D解析方法一∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．又∵l1∥l2，∴a－1－2＝－1a，∴a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等．∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行．方法二由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.所以a＝－1或a＝2.2．若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c等于()A．－2B．－4C．－6D．－8答案B解析由已知得－a4×25＝－1，a＋4c－2＝0,2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.3．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是()A．6x－4y－3＝0B．3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0D．2x＋3y－1＝0答案A解析因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为12，0，直线3x－2y＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l的方程为y＝32x－12，化为一般式，得6x－4y－3＝0.4．已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为()A.－43，23B.－43，23，43C.43，－23D.－43，－23，23答案D解析由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝23或－43；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－23.所以实数m的取值集合为－43，－23，23.思维升华(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．题型二两直线的交点与距离问题1．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．答案－16，12解析由方程组y＝kx＋2k＋1，y＝－12x＋2，解得x＝2－4k2k＋1，y＝6k＋12k＋1.(若2k＋1＝0，即k＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为2－4k2k＋1，6k＋12k＋1.又∵交点位于第一象限，∴2－4k2k＋10，6k＋12k＋10，解得－16k12.2．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________________．答案5x＋3y－1＝0解析先解方程组3x＋2y－1＝0，5x＋2y＋1＝0，得l1，l2的交点坐标为(－1,2)，再由l3的斜率为35求出l的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－53(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.3．(2020·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．答案[0,10]解析由题意得，点P到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．4．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．答案2910解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ|的最小值为2910.思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．题型三对称问题命题点1中心对称例1(1)直线x－2y－3＝0关于定点M(－2,1)对称的直线方程是________________．答案x－2y＋11＝0解析设所求直线上任一点(x，y)，则关于M(－2,1)的对称点(－4－x,2－y)在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0.(2)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．答案x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.命题点2轴对称例2(1)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．答案6x－y－6＝0解析设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以b－4a－－3·1＝－1，－3＋a2－b＋42＋3＝0，解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－y－6＝0.(2)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________．答案x－2y＋3＝0解析设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由x＋x02－y＋y02＋2＝0，x－x0＝－y－y0，得x0＝y－2，y0＝x＋2，∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.思维升华(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)几个常用结论①点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．②点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．③点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．跟踪训练1(1)(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有()A．a＝13，b＝6B．a＝－3，b＝16C．a＝3，b＝－16D．a＝－13，b＝－6答案D解析由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点(0,2)关于直线y＝－x的对称点(－2,0)在直线y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6,0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－1