【新高考复习】专题04 立体几何——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（教师版含解析）

专题04立体几何1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A．514B．512C．514D．512【答案】C【解析】如图，设,CDaPEb，则22224aPOPEOEb，由题意得212POab，即22142abab，化简得24()210bbaa，解得154ba(负值舍去).故选C．【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为A．3B．32C．1D．32【答案】C【解析】设球O的半径为R，则2416R，解得：2R.设ABC外接圆半径为r，边长为a，ABC是面积为934的等边三角形，21393224a，解得：3a，22229933434ara，球心O到平面ABC的距离22431dRr.故选：C．【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A．6+42B．4+42C．6+23D．4+23【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABCADCCDBSSS△△△根据勾股定理可得：22ABADDBADB△是边长为22的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin60(22)23222ADBSABAD△该几何体的表面积是：2362332.故选：C．【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.4．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知,,ABC为球O的球面上的三个点，⊙1O为ABC△的外接圆，若⊙1O的面积为4π，1ABBCACOO，则球O的表面积为A．64πB．48πC．36πD．32π【答案】A【解析】设圆1O半径为r，球的半径为R，依题意，得24,2rr，ABC为等边三角形，由正弦定理可得2sin6023ABr，123OOAB，根据球的截面性质1OO平面ABC，222211111,4OOOAROAOOOAOOr，球O的表面积2464SR.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5．【2020年高考天津】若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A．12πB．24πC．36πD．144π【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即22223232332R，所以，这个球的表面积为2244336SR.故选：C．【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：(1)三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；(3)如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6．【2020年高考北京】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为A．63B．623C．123D．1223【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：1322222sin6012232S.故选：D．【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．7．【2020年高考浙江】某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是的A．73B．143C．3D．6【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为11117211212232233.故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.8．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依题意,,mnl是空间不过同一点的三条直线，当,,mnl在同一平面时，可能////mnl，故不能得出,,mnl两两相交.当,,mnl两两相交时，设,,mnAmlBnlC，根据公理2可知,mn确定一个平面，而,BmCn，根据公理1可知，直线BC即l，所以,,mnl在同一平面.综上所述，“,,mnl在同一平面”是“,,mnl两两相交”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A．20°B．40°C．50°D．90°【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知OAl；AB是晷针所在直线.m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//mCD，根据线面垂直的定义可得ABm..由于40,//AOCmCD，所以40OAGAOC，由于90OAGGAEBAEGAE，所以40BAEOAG，也即晷针与点A处的水平面所成角为40BAE.故选B.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.10．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①14pp②12pp③23pp④34pp【答案】①③④【解析】对于命题1p，可设1l与2l相交，这两条直线确定的平面为；若3l与1l相交，则交点A在平面内，同理，3l与2l的交点B也在平面内，所以，AB，即3l，命题1p为真命题；对于命题2p，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p为假命题；对于命题3p，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p为假命题；对于命题4p，若直线m平面，则m垂直于平面内所有直线，直线l平面，直线m直线l，命题4p为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14pp为真命题，12pp为假命题，23pp为真命题，34pp为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.11．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BCABAC，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于223122AM，故1222222S△ABC，设内切圆半径为r，则：ABCAOBBOCAOCSSSS△△△△111222ABrBCrACr1332222r，解得：22r=，其体积：34233Vr.故答案为：23.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_______．【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则21222rlrl，解得1,2rl.故答案为：1【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.13．【2020年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是▲cm.【答案】1232【解析】正六棱柱体积为23622=1234，圆柱体积为21()222，所求几何体体积为1232.故答案为：1232【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以1D为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．【答案】22.【解析】如图：取11BC的中点为E，1BB的中点为F，1CC的中点为G，因为BAD60°，直四棱柱1111ABCDABCD的棱长均为2，所以△111DBC为等边三角形，所以1DE3，111DEBC，又四棱柱1111ABCDABCD为直四棱柱，所以1BB平面1111DCBA，所以111BBBC，因为1111BBBCB，所以1DE侧面11BCCB，设P为侧面11BCCB与球面的交线上的点，则1DEEP，因为球的半径为5，13DE，所以2211||||||532EPDPDE，所以侧面11BCCB与球面的交线上的点到E的距离为2，因为||||2EFEG，所以侧面11BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，因为114BEFCEG，所以2FEG，所以根据弧长公式可得2222FG.故答案为：22.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.15．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC△是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P−ABC的体积.【解析】(1)由题设可知，PA=PB=PC．由