【新高考复习】专题04 不等式 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）

专题四《不等式》讲义知识梳理.不等式1．不等式的性质(1)对称性：ab⇔ba；(2)传递性：ab，bc⇒ac；(3)可加性：ab⇔a＋cb＋c；ab，cd⇒a＋cb＋d；(4)可乘性：①ab，c0⇒acbc;②ab0，cd0⇒acbd；(5)可乘方性：ab0⇒anbn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅3.均值定理如果,abR，那么2abab，当且仅当ab时，等号成立【均值不等式的常见变形】（1）2,abababR（2）222,abababR（3）2,2abababR（4）222,2abababR（）题型一.不等式的性质1．下列命题中，正确的是（）A．若ac＜bc，则a＜bB．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＞b＞0，则a2＞b2D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d2．设a，b∈R，则“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若1𝑎＜1𝑏＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）A．0B．1C．2D．34．√7+3与√6+√10的大小关系是（）A．√7+3＜√6+√10B．√7+3＞√6+√10C．√7+3=√6+√10D．不确定5．已知a＞b＞1，0＜c＜1，下列不等式成立的是（）A．ca＞cbB．ac＜bcC．logca＞logbcD．bac＜abc6．若实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．1𝑦＞1𝑥B．ln（x﹣y）＞lnyC．𝑥+𝑦＜√2(𝑥2+𝑦2)D．x﹣y＜ex﹣ey题型二.一元二次不等式1．集合𝐴={𝑥|(𝑥−1)(2𝑥−3)≤1}，𝐵={𝑥|−1＜𝑥＜32}，则A∩B为（）A．{𝑥|12＜𝑥≤32}B．{𝑥|1＜𝑥≤32}C．{𝑥|12≤𝑥≤32}D．{𝑥|12≤𝑥＜32}2．关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有一个整数．则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1＜a≤0或2≤a＜3}B．{a|﹣2＜a≤﹣1或3＜a≤4}C．{a|﹣1≤a＜0或2＜a≤3}D．{a|﹣2＜a＜﹣1或3＜a＜4}3．如果不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，那么对于函数f（x）＝ax2+bx+c应有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（﹣1）＜f（5）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）D．f（5）＜f（﹣1）＜f（2）4．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）5．如果关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，2]D．（﹣2，2）6．已知不等式（x2﹣ax+1）（lnx﹣a）≤0在x∈[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为．题型三.基本不等式考点1.和定积最大、积定和最小1．已知a＞0，b＞0，且满足𝑎3+𝑏4=1，则ab的最大值是（）A．2B．3C．4D．62．已知x＞0，则y＝x+1𝑥+1的最小值是（）A．2B．3C．4D．63．已知0＜x＜2，则y＝x√4−𝑥2的最大值为（）A．2B．4C．5D．6考点2.凑定值1．已知0＜𝑥＜12，则函数y＝x（1﹣2x）的最大值是（）A．12B．14C．18D．192．已知x＜54，求函数y＝4x﹣1+14𝑥−5的最大值．考点3.1的代换1．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（）A．4B．8C．16D．322．若正数a，b满足2a+b＝1，则𝑎2−2𝑎+𝑏2−𝑏的最小值是．3．已知实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝1，则2𝑥+𝑥𝑦的最小值为．考点4.x、y、xy型1．如果x＞0，y＞0，x+y+xy＝2，则x+y的最小值为．2．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值为．3．设x，y∈R，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是．4．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc＝12，则a+b+c的最小值是．考点5.𝐲=𝟏𝒂+𝒂𝒃型函数的最值1．设a+b＝2，b＞0，则当a＝时，12|𝑎|+|𝑎|𝑏取得最小值．2．若正数a，b满足1𝑎+1𝑏=1，则4𝑎−1+16𝑏−1的最小值为．3．设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2＝4，则1𝑥+1𝑦的最小值为．4．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c＝0且使|2a+b|最大时，1𝑎+2𝑏+4𝑐的最小值为．题型四.不等式恒成立问题1．若关于x的不等式ax2﹣2ax+1＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是（）A．a＞1B．a≥1C．0＜a≤1D．0≤a≤12．已知关于x的不等式ax2﹣2x+4a＜0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围是（）A．(−∞，12)B．(12，+∞)C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）3．设a∈R，若x＞0时均有（x2+ax﹣5）（ax﹣1）≥0成立，则a＝．4．若a，b∈R，且a＞0，b＞0，则下列不等式中恒成立的是（）A．a2+b2＞2abB．a+b≥2√𝑎𝑏C．1𝑎+1𝑏≥2√𝑎𝑏D．2𝑏𝑎+𝑎8𝑏≥25．设正实数x，y满足𝑥＞12，𝑦＞1，不等式4𝑥2𝑦−1+𝑦22𝑥−1≥𝑚恒成立，则m的最大值为．6．设函数f（x）＝x2﹣ax+a+3，g（x）＝ax﹣2a，若∃x0∈R，使得f（x0）＜0和g（x0）＜0同时成立，则a的取值范围为（）A．（7，+∞）B．（6，+∞）∪（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣2）D．（7，+∞）∪（﹣∞，﹣2）