【新高考复习】专题13解析几何 13.5抛物线 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）

专题十三《解析几何》讲义13.5抛物线知识梳理.抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2．抛物线的标准方程和几何性质标准y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为p2.图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2题型一.抛物线定义及其性质1．已知抛物线𝑦=12𝑥2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|=√2|NF|，则|MF|＝．2．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（）A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2=√3x3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为．4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=√2|AF|，则△AFK的面积为．5．在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在圆C2：（x﹣5）2+y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝﹣5的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，则曲线C1的方程为．6．（2015·浙江）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．|𝐵𝐹|−1|𝐴𝐹|−1B．|𝐵𝐹|2−1|𝐴𝐹|2−1C．|𝐵𝐹|+1|𝐴𝐹|+1D．|𝐵𝐹|2+1|𝐴𝐹|2+1题型二.定义转化求值1．已知抛物线方程y2＝4x，直线l的方程为x﹣y+5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为．2．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣5）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值是．3．（2016·四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．√33B．23C．√22D．1题型三.焦点弦八个常用结论1．（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若𝐹𝐴→+𝐹𝐵→+𝐹𝐶→=0→，则|𝐹𝐴→|+|𝐹𝐵→|+|𝐹𝐶→|的值为（）A．3B．4C．6D．92．（2016•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果𝑂𝐴→•𝑂𝐵→=−12，那么抛物线C的方程为（）A．x2＝8yB．x2＝4yC．y2＝8xD．y2＝4x3．（2009•黑龙江）已知直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝（）A．13B．√23C．23D．2√234．（2020•青岛模拟）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则|𝐴𝐹||𝐵𝐹|的值为（）A．3B．2C．32D．435．（2015•陕西一模）已知直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，l与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为（）A．12B．32C．1D．26．（2021春•孝南区校级月考）已知曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴的距离大2，直线l：y＝kx+2与曲线M交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为．7．（2007•山东）设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，𝐹𝐴→与x轴正向的夹角为60°，则|𝑂𝐴→|为．8．（2018•一模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．20C．24D．329．（2012•安徽）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（）A．√22B．√2C．3√22D．2√210．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x11．（2013•宁波模拟）直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|＝（）A．a+bB．𝑎+𝑏2C．√𝑎𝑏D．12√𝑎𝑏12．（2013•大纲版）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若𝑀𝐴→•𝑀𝐵→=0，则k＝（）A．√2B．√22C．12D．213．（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．12B．23C．34D．43题型四.过x轴定点问题1．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，𝑂𝐴→⋅𝑂𝐵→=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是．2．已知抛物线C方程为x2＝4y，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则|AP|•|BQ|的取值范围为（）A．(12，+∞)B．[2，+∞）C．（2，+∞）D．[0，2）题型五.切线问题3．已知点A（3，﹣2）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|＝（）A．6B．8C．10D．12课后作业.抛物线1．已知点M（1，2），点P在抛物线y2＝8x上运动，点Q在圆（x﹣2）2+y2＝1上运动，则|PM|+|PQ|的最小值为（）A．2B．3C．4D．52．已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，若抛物线C上存在一点B使|𝐴𝐵|=√2|𝐵𝐹|，则|AB|＝（）A．8√2B．8C．4√2D．43．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)右支与焦点为F的抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为（）A．𝑦=±√22𝑥B．𝑦=±√2𝑥C．𝑦=±√32𝑥D．𝑦=±√3𝑥4．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，直线l：3x﹣4y+4＝0与抛物线C和圆x2+y2﹣2y＝0从左至右的交点依次为A、B、E、F，则抛物线C的方程为，|𝐸𝐹||𝐴𝐵|=．5．焦点为F的抛物线C：x2＝4y的准线与坐标轴交于点A，点P在抛物线C上，则|𝑃𝐴||𝑃𝐹|的最大值为．6．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于点A、B，交准线于点P，交y轴于点Q，若𝑃𝑄→=𝐹𝐵→，则弦长|AB|＝．