【新高考复习】专题10 数列 10.2等比数列 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

专题十《数列》讲义10.2等比数列知识梳理.等比数列1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)．(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1．(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.3．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r．(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．常用结论4．记住等比数列的几个常用结论(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列。题型一.等比数列的基本量1．（2013•北京）若等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则公比q＝2；前n项和Sn＝2n+1﹣2．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2+a4＝a2（1+q2）＝20①a3+a5＝a3（1+q2）＝40②∴①②两个式子相除，可得到𝑎3𝑎2=4020=2即等比数列的公比q＝2，将q＝2带入①中可求出a2＝4则a1=𝑎2𝑞=42=2∴数列{an}时首项为2，公比为2的等比数列．∴数列{an}的前n项和为：Sn=𝑎1(𝑞𝑛−1)𝑞−1=2×(2𝑛−1)2−1=2n+1﹣2．故答案为：2，2n+1﹣2．2．（2010•辽宁）设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4﹣2，3S2＝a3﹣2，则公比q＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，3S3＝a4﹣2，3S2＝a3﹣2，两式相减得3a3＝a4﹣a3，a4＝4a3，∴公比q＝4．故选：B．3．（2017•江苏）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=74，S6=634，则a8＝32．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵S3=74，S6=634，∴𝑎1(1−𝑞3)1−𝑞=74，𝑎1(1−𝑞6)1−𝑞=634，解得a1=14，q＝2．则a8=14×27=32．故答案为：32．题型二.等比数列的性质1．已知正项等比数列{an}中，a3=𝑎4𝑎2，若a1+a2+a3＝7，则a8＝（）A．32B．48C．64D．128【解答】解：由𝑎3=𝑎4𝑎2，得𝑎1𝑞2=𝑞2，所以a1＝1，又因为a1+a2+a3＝7，得1+q+q2＝7，所以q＝2，故𝑎8=27=128，故选：D．2．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，则数列{an}的公比为（）A．12B．13C．2D．3【解答】解：各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，∴{𝑎1𝑞3⋅𝑎1𝑞13=9𝑎1𝑞7+𝑎1𝑞9=10𝑞＞1，解得数列{an}的公比为q＝3．故选：D．3．（2014•广东）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12＝2e5，则lna1+lna2+…+lna20＝50．【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12＝2e5，∴a10a11+a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5，∴lna1+lna2+…lna20＝ln（a1a2…a20）＝ln（a10a11）10＝ln（e5）10＝lne50＝50．故答案为：50．题型三.等比数列的前n项经典结论1．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝2，S30＝14，则S40等于（）A．80B．30C．26D．16【解答】解：由题意知等比数列{an}的公比q＞0，且q≠1，则有{𝑎1(1−𝑞10)1−𝑞=2①𝑎1(1−𝑞30)1−𝑞=14②②①，得1+q10+q20＝7，即q20+q10﹣6＝0，解得q10＝2，则q40＝16，且代入①得𝑎11−𝑞=−2，所以𝑆40=𝑎1(1−𝑞40)1−𝑞=−2×（1﹣16）＝30．故选：B．2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若𝑆6𝑆3=12，则𝑆9𝑆3=（）A．12B．23C．34D．13【解答】解：由题意，设S3＝2m，那么S6＝m，（m≠0），那么：S3，S6﹣S3，S9﹣S6，成等比数列即2m×（S9﹣m）＝（m﹣2m）2，解得：S9=32m，则𝑆9𝑆3=32𝑚×12𝑚=34，故选：C．3．在等比数列{an}中，已知n∈N+，且a1+a2+…+an＝2n﹣1，那么a12+a22+…+an2为（）A．23(4𝑛+1)B．23(4𝑛−1)C．13(4𝑛−1)D．13(4𝑛+1)【解答】解：∵a1+a2+…+an＝2n﹣1，∴n≥2时，a1+a2+…+an﹣1＝2n﹣1﹣1，可得an＝2n﹣1．n＝1时，a1＝2﹣1＝1．对于上式也成立．∴an＝2n﹣1．∴𝑎𝑛2=（2n﹣1）2＝4n﹣1．那么a12+a22+…+an2=4𝑛−14−1=13(4𝑛−1)．故选：C．题型四.证明等比数列1．已知数列{an}，Sn是其前n项和，并且Sn+1＝4an+2（n＝1，2，…），a1＝1．（1）设数列bn＝an+1﹣2an（n＝1，2，…）求证：数列{bn}是等比数列；（2）设数列cn=𝑎𝑛2𝑛（n＝1，2，…）求证：数列{cn}是等差数列；（3）求数列{an}的通项公式及前n项和．【解答】解：（1）由题意得，Sn+1＝4an+2①，当n≥2时Sn＝4an﹣1+2②，①﹣②得，an+1＝4an﹣4an﹣1，∴当n≥2时，𝑏𝑛𝑏𝑛−1=𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1=4𝑎𝑛−4𝑎𝑛−1−2𝑎𝑛𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1=2𝑎𝑛−4𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1=2，且b1＝a2﹣2a1＝3，∴{bn}是以2为公比，3为首项的等比数列，（2）由（1）得bn＝b1•qn﹣1＝3•2n﹣1，则an+1﹣2an＝3•2n﹣1，∴an﹣2an﹣1＝3•2n﹣2，当n≥2时，cn﹣cn﹣1=𝑎𝑛2𝑛−𝑎𝑛−12𝑛−1=𝑎𝑛−2𝑎𝑛−12𝑛=3⋅2𝑛−22𝑛=34，且C1=𝑎12=12，∴{∁n}为34为公差，以12为首项的等差数列，（3）由（2）得∁n＝C1+（n﹣1）•d=3𝑛−14，即𝑎𝑛2𝑛=3𝑛−14，∴an＝（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）∵Sn+1＝4an+2，∴Sn+1＝4•（3n﹣1）•2n﹣2+2＝（3n﹣1）•2n+2即Sn＝（3n﹣4）2n﹣1+2（n∈N*）．2．数列{an}的前n项和为Sn，已知𝑎1=1，𝑎𝑛+1=𝑛+2𝑛𝑆𝑛(𝑛=1，2，3，⋯)．（1）试写出a2，S2，a3；（2）设𝑏𝑛=𝑆𝑛𝑛，求证：数列{bn}是等比数列；（3）求出数列{an}的前n项和为Sn及数列{an}的通项公式．【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，𝑎1=1，𝑎𝑛+1=𝑛+2𝑛𝑆𝑛(𝑛=1，2，3，⋯)，则：a2＝3，S2＝4，a3＝8；（2）由𝑎𝑛+1=𝑛+2𝑛𝑆𝑛(𝑛=1，2，3，⋯)，可得：𝑆𝑛+1−𝑆𝑛=𝑛+2𝑛𝑆𝑛，整理𝑆𝑛+1=𝑛+2𝑛𝑆𝑛+𝑆𝑛=2𝑛+2𝑛𝑆𝑛⇒𝑆𝑛+1𝑛+1=2𝑆𝑛𝑛，所以bn+1＝2bn，又有𝑏1=𝑆11=𝑎11=1≠0，所以数列{bn}是首项是1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可知𝑏𝑛=2𝑛−1，且𝑏𝑛=𝑆𝑛𝑛，进而𝑆𝑛𝑛=2𝑛−1，所以数列{an}的前n项和𝑆𝑛=𝑛2𝑛−1(𝑛∈𝑁+)，当𝑛≥2，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=𝑛2𝑛−1−(𝑛−1)2𝑛−2=2𝑛⋅2𝑛−2−(𝑛−1)⋅2𝑛−2=(𝑛+1)2𝑛−2，当n＝1时，a1＝1也满足上式𝑎𝑛=(𝑛+1)⋅2𝑛−1．所以：𝑎𝑛=(𝑛+1)⋅2𝑛−1．题型五.等差、等比综合1．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．8【解答】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴𝑎32=𝑎2⋅𝑎6，∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，解得d＝﹣2，∴{an}前6项的和为𝑆6=6𝑎1+6×52𝑑=6×1+6×52×(−2)=−24．故选：A．2．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，且S5•S6＝﹣15，则d的取值范围是(−∞，−2√2]∪[2√2，+∞)，若a1＝﹣7，则d的值为3或3310．【解答】解：S5•S6＝﹣15，∴(5𝑎1+5×42𝑑)(6𝑎1+6×52𝑑)=−15，化为：2𝑎12+9da1+10d2+1＝0，则△＝81d2﹣8（10d2+1）≥0，化为：d2≥8，解得d≥2√2或d≤﹣2√2．则d的取值范围是(−∞，−2√2]∪[2√2，+∞)．若a1＝﹣7，则10d2﹣63d+99＝0，解得d＝3或3310．故答案为：(−∞，−2√2]∪[2√2，+∞)，3或3310．3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7＝5，S5＝﹣55，则nSn的最小值为﹣343．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a7＝5，S5＝﹣55，∴a1+6d＝5，5a1+5×42=−55，联立解得：a1＝﹣19，d＝4．∴Sn＝﹣19n+𝑛(𝑛−1)2×4=2n2﹣21n．则nSn＝2n3﹣21n2，令f（x）＝2x3﹣21x2，（x≥1），f′（x）＝6x2﹣42x＝6x（x﹣7），可得x＝7时，函数f（x）取得极小值即最小值，∴n＝7时，nSn取得最小值，2×73﹣21×72＝﹣343．故答案为：﹣343．4．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a3﹣a2＝5，则a4+8a2的最小值为（）A．40B．20C．10D．5【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若a3﹣a2＝5，则a2q﹣a2＝5，即a2（q﹣1）＝5，变形可得a2=5𝑞−1，a4+8a2＝a2（q2+8）=5𝑞−1×（q2+8）=5𝑞−1×[（q﹣1）2+2（q﹣1）+9]＝5×[（q﹣1）+9𝑞−1+2]≥5（2×√(𝑞−1)×9𝑞−1+2）＝5×8＝40，当且仅当q﹣1＝3时等号成立，即a4+8a2的最小值为40；故选：A．5．已知正项等比数列{an}的前n项和Sn，满足S4﹣2S2＝3，则S6﹣S4的最小值为（）A．14B．3C．4D．12【解答】解：根据题意，设该等比数列的首项为a1，公比为q，若S4﹣2S2＝3，则有S4﹣2S2＝a1+a2+a3+a4﹣2（a1+a2）＝（a3+a4）﹣（a1+a2）＝（q2﹣1）（a1+a2）＝3，又由数列{an}为正项的等比数列，则q＞1，则（a1+a2）=3𝑞2−1，则S6﹣S