【新高考复习】专题14计数原理 14.1排列组合 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

专题十四《计数原理》讲义14.1排列组合知识梳理.排列组合1.两种计数原理：(1)分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．(2)分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．2.排列组合（1）排列、组合的定义①排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。②组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。（2）排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！性质Ann＝n！，0！＝1C0n＝1，Cmn＝Cn－mn，Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋13.求解排列应用问题的6种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法题型一.两种计数原理1．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（）A．18个B．15个C．12个D．9个【解答】解：设满足题意的“六合数”为2𝑎𝑏𝑐，则a+b+c＝4，于是满足条件的a，b，c可分以下四种情形：（1）一个为4，两个为0，共有3种；（2）一个为3，一个为1，一个为0，共有𝐴33=6种；（3）两个为2，一个为0，共有3种；（4）一个为2，两个为1，共有3种．则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15种．故选：B．2．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有96．【解答】解：根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，有A44种情况，根据乘法原理，分析可得有C41A44＝96种情况；故答案为：96．3．在编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有20种．【解答】解：设两个不同的小球为A、B，当A放入1号盒或者6号盒时，B有4种不同的放法；当A放入2，3，4，5号盒时，B有3种不同的放法，一共有4×2+3×4＝20种不同的放法．故答案为：20．4．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法（）A．72种B．48种C．24种D．12种【解答】解：根据题意，首先涂A有C41＝4种涂法，则涂B有C31＝3种涂法，C与A、B相邻，则C有C21＝2种涂法，D只与C相邻，则D有C31＝3种涂法．所以，共有4×3×2×3＝72种涂法，故选：A．5．（2018•新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种．（用数字填写答案）【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42＝12，2女1男，有C22C41＝4根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，方法二，间接法：C63﹣C43＝20﹣4＝16种，故答案为：166．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．484B．472C．252D．232【解答】解：根据题意，不考虑限制条件，从16张卡片中任取3张有C163种情况，其中如果取出的3张为同一种颜色，有4C43种情况，如果取出的3张有2张红色的卡片，有C42C121种情况，则满足条件的取法有C163﹣4C43﹣C42C121＝560﹣16﹣72＝472种；故选：B．7．（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）A．24对B．30对C．48对D．60对【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有𝐶122=66对，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3×6＝18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18＝48．故选：C．8．（2016•新课标Ⅱ）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A．24B．18C．12D．9【解答】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．故选：B．题型二.特殊元素、特殊位置优先策略1．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种【解答】解：由题意知甲的位置影响乙的排列∴要分两类：一类为甲排在第一位共有A44＝24种，另一类甲排在第二位共有A31A33＝18种，∴故编排方案共有24+18＝42种，故选：B．2．5名学生站成一排照相，甲不站排头、乙不站排尾的站法种数是78．【解答】解：甲不站排头，乙不站排尾排法计数可分为两类，第一类甲在末尾，排法有A44，第二类甲不在末尾，先排甲，有A31种方法，再排乙有A31种方法，剩下的四人有A33种排法，故有A31×A31×A33种方法，由此，总排法有A44+A31×A31×A33＝78种，故答案为：78．3．甲、乙、丙三人值日，从周一至周六，每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出的不同值日表有42种．【解答】解：法一：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，根据题意分两类当甲排在星期六，有C41C42＝24种排法．当甲不排在星期六，有C42C32＝18种排法∴值班方案种数为24+18＝42种故答案为：42法二：先做出所有的没有限制的排列数，共有C62•C42种结果，而不满足条件的有甲在周一，乙在周六，共有2C51C42种结果，其中多减去了乙在周六且甲在周一，共有C41C31种结果，得到符合条件的结果数有C62•C42﹣2C51C42+C41C31＝42题型三.捆绑法、插空法1．（2004•重庆）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）A．110B．120C．140D．1120【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有A33•A66•A72种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：𝑃=𝐴33⋅𝐴66⋅𝐴72𝐴1010=120．故选：B．2．（2014•北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有𝐴44种方法，而A、B可交换位置，所以有2𝐴44=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2𝐴33=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12＝36种．故答案为：36．3．（2012春•长安区校级期中）某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）A．504B．210C．336D．120【解答】解：∵由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，∴三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果根据分步计数原理得到共有插法种数为7×8×9＝504，故选：A．4．（2014•重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72B．120C．144D．168【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33＝6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须都安排节目，分3种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22＝4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是4×2＝8种；②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22＝2种情况，相声类节目放在2端，有2种情况，此时有4种安排方法；③将中间2个空位安排3个节目，将一个小品类节目和相声类节目作为一个整体放在其中一个空位，剩下一个空位安排另一个小品类节目，此时有C21×2×2＝8种安排方法，则中间空位的安排方法有8+4+8＝20种，则同类节目不相邻的排法种数是6×20＝120种，故选：B．题型四.不同元素分组问题1．（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【解答】解：4项工作分成3组，可得：𝐶42=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×𝐴33=36种．故选：D．2．（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有𝐶21=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有𝐶42=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1＝12种故选：A．3．（2017春•黄梅县校级期中）将4位大学生分配到A，B，C三个工厂参加实习活动，其中A工厂只能安排1位大学生，其余工厂至少安排1位大学生，且甲同学不能分配到C工厂，则不同的分配方案种数是15．【解答】解：甲同学不能分配到C工厂，则甲可以放在A，B工厂，第一类，甲到A工厂，另外3人到B，C工厂，且只能是一个工厂2人，另外一个1人，故有A32＝6种，第二类，甲到B工厂，再分两类，一是，其余3人到A，C两个工厂，而A工厂只能安排1位大学生，一共有3种分配方法，二是另外3人分别分到A，B，C工厂，故有A33＝6