【新高考复习】考点04 函数的基本性质-2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）（解析版）

2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）考点04函数的基本性质知识点1:函数的单调性例1.已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（）A．函数f（x）是周期函数B．函数f（x）为R上的偶函数C．f（x）的图象关于点对称函数D．f（x）为R上的单调函数【答案】D【分析】由题意利用函数的周期性、奇偶性、单调性、图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：定义在R上的函数y＝f（x）满足条件，∴f（x+3）＝f（x），故函数f（x）是周期等于3的周期函数，故A正确；由，∴f（x﹣+）＝﹣f（x﹣），即f（x﹣）＝﹣f（x﹣）．再根据f（x）周期为3，可得f（x﹣）＝f（x﹣+3）＝f（x+），∴f（x﹣）＝﹣f（x+）．由函数为奇函数，∴f（x﹣）＝﹣f（﹣x﹣），∴f（x+）＝f（﹣x﹣）．令x+＝t，则f（t）＝f（﹣t），故f（t）为偶函数，故f（x）为偶函数，故B正确；∵函数为奇函数，故它的图象关于原点对称，故把f（x﹣）向左平移个单位，得到f（x）的图象，∴f（x）的图象关于点对称，故C正确；由于f（x）为偶函数，故函数f（x）在（0，+∞）和（﹣∞，0）上单调性相反，故f（x）在R上不单调，故D错误，故选：D．【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数单调性的性质与判断、函数的周期性练习：1.已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（2a﹣1）＞f（），则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，由函数的定义域和单调性，分析可得0≤2a﹣1＜，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在[0，+∞）上的单调减函数，若f（2a﹣1）＞f（），则有0≤2a﹣1＜，解可得≤a＜，即a的取值范围为[，），故选：D．【知识点】函数的单调性及单调区间、函数单调性的性质与判断2.下列四个函数在（﹣∞，0）上为增函数的是（）①y＝|x|+1；②；③；④．A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【分析】根据x∈（﹣∞，0），然后对每个函数去绝对值号，判断每个函数的单调性即可．【解答】解：①y＝|x|+1在（﹣∞，0）上是减函数；②x∈（﹣∞，0）时，是常数函数，不是增函数；③x∈（﹣∞，0）时，是增函数；④x∈（﹣∞，0）时，是增函数．故选：C．【知识点】函数单调性的性质与判断3.若函数f（x）为R上的单调递增函数，且对任意实数x∈R，都有f[f（x）﹣ex]＝e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）＝．【答案】3【分析】设t＝f（x）﹣ex，则f（x）＝ex+t，则条件等价为f（t）＝e+1，结合已知及函数的单调性可求t，进而可求．【解答】解：设t＝f（x）﹣ex，则f（x）＝ex+t，则条件等价为f（t）＝e+1，令x＝t，则f（t）＝et+t＝e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t＝1，∴f（x）＝ex+1，即f（ln2）＝eln2+1＝2+1＝3．故答案为：3【知识点】函数单调性的性质与判断4.已知函数，则不等式f（3﹣x2）+f（2x）＞0的解集为﹣．【答案】{x|-1＜x＜3}【分析】先判断f（x）是奇函数且是R上的增函数，不等式可化为f（3﹣x2）＞f（﹣2x），可得3﹣x2＞﹣2x，从而求得它的解集．【解答】解：由题意得f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝＝1﹣，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，故它在（﹣∞，0）上也是增函数．又f（0）＝0，故f（x）是R上的增函数．由不等式f（3﹣x2）+f（2x）＞0，可得f（3﹣x2）＞f（﹣2x），∴3﹣x2＞﹣2x，解得﹣1＜x＜3，故原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜3}，故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．【知识点】函数单调性的性质与判断5.已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），则不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2的解集为﹣．【答案】[-1，0）【分析】令x＝y＝1易得f（1）＝0；再令x＝2，y＝，可得f（2）值，求出f（4）＝﹣2，由f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2，得到f[x（x﹣3）]≥f（4），再由函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，能求出原不等式的解集．【解答】解（1）∵f（xy）＝f（x）+f（y）∴令x＝y＝1得f（1）＝f（1）+f（1），∴f（1）＝0再令x＝2，y＝，∴f（1）＝f（2）+f（）＝0，∴f（2）＝﹣1令x＝y＝2，∴令x＝y＝2得f（4）＝f（2）+f（2）＝﹣2，∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．∴函数在（0，+∞）减函数，∵f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．∴f（x）+f（x﹣3）≥f（4），∴f[x（x﹣3）]≥f（4），∴，解得﹣1≤x＜0∴原不等式的解集为[﹣1，0），故答案为：[﹣1，0）．【知识点】函数单调性的性质与判断、抽象函数及其应用知识点2:函数的最值与几何意义例1.定义在R上函数f（x）满足，且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|．若当x∈[m，+∞）时，，则m的最小值等于．【分析】由已知可得，当x∈[n，n+1）（n∈Z）时，，作出图象，数形结合可得f（）＝，由此可得满足条件的实数m的最小值．【解答】解：根据题设可知，当x∈[1，2）时，x﹣1∈[0，1），故，当x∈[2，3）时，x﹣1∈[1，2），故f（x）＝f（x﹣1）＝（1﹣|2x﹣5|），同理可得：当x∈[n，n+1）（n∈Z）时，，∴当n≥4时，．作函数y＝f（x）的图象，如图所示．在上，由，得，由图象可知当时，，故m的最小值为．故答案为：．【知识点】函数的最值及其几何意义练习：1.若实数x、y满足3x2﹣2xy﹣y2＝1，则的最大值为．【分析】由3x2﹣2xy﹣y2＝（3x+y）（x﹣y）＝1得5x2+2xy+y2＝[（3x+y）2+（x﹣y）2]＝1+[3x+y﹣（x﹣y）]2＝1+2（x+y）2，然后代入后结合基本不等式可求．【解答】解：实数x、y满足3x2﹣2xy﹣y2＝（3x+y）（x﹣y）＝1，∴5x2+2xy+y2＝[（3x+y）2+（x﹣y）2]＝[3x+y﹣（x﹣y）]2+1＝2（x+y）2+1，若存在最大值，则x+y＞0，∴＝＝＝，当且仅当2（x+y）＝时取等号，此时的最大值．故答案为：．【知识点】基本不等式及其应用、函数的最值及其几何意义2.已知函数f（x）＝，若f（x）在区间（a，a+3）上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为．【答案】（-2，-1]【分析】画出函数f（x）的图象，若f（x）在（a，a+3）上既有最大值又有最小值，结合图象得到不等式求解即可．【解答】解：f（x）的图象如图所示∵f（x）在（a，a+3）上既有最大值又有最小值，∴，解得﹣2＜a≤﹣1，故a的取值范围为（﹣2，﹣1]．故答案为：（﹣2，﹣1]．【知识点】函数的最值及其几何意义、分段函数的应用3.函数f（x）＝在（﹣∞，2）上的最小值是（）A．1B．2C．3D．0【答案】B【分析】用分母表示出分子，使用基本不等式得出最小值．【解答】解：f（x）＝＝＝2﹣x+，∵x＜2，∴2﹣x＞0，∴2﹣x+≥2，当且仅当2﹣x＝即x＝1时取等号．∴f（x）的最小值为2．故选：B．【知识点】函数的最值及其几何意义4.已知函数的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（）A．0B．2C．4D．8【答案】C【分析】令，判断函数g（x）为定义域上的奇函数，再由奇函数的对称性即可求得答案．【解答】解：令，∵，∴函数g（x）为奇函数．∴g（x）max+g（x）min＝0，故f（x）max﹣2+f（x）min﹣2＝0，∴f（x）max+f（x）min＝4．故选：C．【知识点】函数的最值及其几何意义5.已知函数f（x）＝|x2﹣2x﹣3|在[﹣1，m]上的最大值为f（m），则m的取值范围是（）A．（﹣1，1]B．（﹣1，1+2]C．[1+2，+∞）D．（﹣1，1]∪[1+2，+∞）【答案】D【分析】本题先画出函数f（x）大致图象，然后根据图象对m进行分类谈论，即可得到m的取值范围．【解答】解：由题意，函数f（x）大致图象如下：根据题意及图，可知当﹣1＜m≤1时，f（x）max＝f（m）．令x2﹣2x﹣3＝4，解得x＝1±2，则当1＜m＜1+2时，f（x）max＝f（1）≠f（m）．．当m≥1+2时，f（x）max＝f（m）．∴满足题意的m的取值范围为：（﹣1，1]∪[1+2，+∞）．故选：D．【知识点】函数的最值及其几何意义知识点3:函数的奇偶性例1.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+2），且x∈（0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（2019）+f（2020）＝（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【答案】D【分析】根据f（x+2）＝﹣f（x）即可得出f（x）的周期为4，根据f（x）是R上的奇函数及f（1）＝1即可求出f（0）＝0，f（3）＝﹣1，从而可得出f（2019）+f（2020）的值．【解答】解：因为f（x+2）＝﹣f（x）所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，由x∈（0，1]时f（x）＝log2（x+1），可得f（1）＝1，∴f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣1．∴f（2019）+f（2020）＝f（3）+f（0）＝﹣1+0＝﹣1故选：D．【知识点】函数的值、函数奇偶性的性质与判断、抽象函数及其应用练习：1.定义在R上的偶函数f（x）满足，则f（2021）＝（）A．﹣3或4B．﹣4或3C．3D．4【答案】D【分析】根据题意，利用特殊值分析可得f（1）＝，解可得f（1）的值，结合函数的奇偶性可得＝，则有f（x+2）＝f（2﹣x），变形可得f（x+4）＝f（x），即可得函数的周期性，则有f（2021）＝f（1+2020）＝f（1），即可得答案．【解答】解：根据题意，偶函数f（x）满足，则f（x）≥0，若x＝﹣1，则f（1）＝＝，解可得f（1）＝4或﹣3，又由f（x）≥0，则f（x）＝4，f（x）为偶函数，则＝，则有f（x+2）＝f（2﹣x），变形可得f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2021）＝f（1+2020）＝f（1）＝4，故选：D．【知识点】函数奇偶性的性质与判断、抽象函数及其应用、函数的值2.已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0≤x＜1时，f（x）＝2x+a，f（1）＝0，则f（﹣3）+f（4﹣log27）＝（）A．1B．﹣1C．D．【答案】D【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝20+a＝0，解可得a的值，即可得函数的解析式，结合函数的奇偶性与周期性求出f（﹣3）与f（4﹣log27）的值，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数且当0≤x＜1时，f（x）＝2x+a，则f（0）＝20+a＝0，解可得a＝﹣1，则f（x）＝2x﹣1，函数f（x）是定义在R上周期为2的奇函数且f（1）＝0，则f（﹣3）＝f（1）＝0，f（4﹣log27）＝f（2﹣log27），又由2＜log27＜3，则﹣1＜2﹣log27＜0，则有0＜log27﹣2＜1，则f（log27﹣2）＝f（log2）＝﹣1＝，则f（4﹣log27）＝﹣f（log27﹣2）＝﹣；则f（﹣3）+f（4﹣log27）＝0﹣＝﹣；即答案为：﹣．故选：D．【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的周期性3.已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（）A．函数f（x）是周期函数B．函数f（x）为R上的偶函数C．f（x）的图象关于点对称函数D．f（x）为R上的单调函数【答案】D【分析】由题意利用函数的周期性、奇偶性、单调性、图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：定义在R上的函数y＝f（x）满足条件，∴f（x+3）＝f（x），故