【新高考复习】专题3.7 函数的图象 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析

专题3.7函数的图象新课程考试要求会运用函数图象理解和研究函数的性质.核心素养培养学生数学运算（例11）、逻辑推理（例5—8等）、数据分析、直观想象（多例）等核心数学素养.考向预测1．函数图象的辨识2．函数图象的变换3.主要有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决不等式、方程等问题．常常与导数结合考查.应特别注意两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用.【知识清单】1．利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象――→关于x轴对称y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象――→关于y轴对称y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象――→关于原点对称y＝－f(－x)的图象；y＝ax(a0，且a≠1)的图象――→关于直线y＝x对称y＝logax(a0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换y＝f(x)――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍y＝f(ax).y＝f(x)――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A（A0）倍y＝Af(x).(4)翻转变换y＝f(x)的图象――→x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y＝|f(x)|的图象；y＝f(x)的图象――→y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变y＝f(|x|)的图象.【考点分类剖析】考点一：作图【典例1】（2021·全国高一课时练习）在同一平面直角坐标系中画出函数fxx与1gxx的图象，并利用图象求不等式1xx的解集．【答案】作图见解析；3502，．【解析】根据幂函数与一次函数的性质，画出两函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数fxx与1gxx，画出图象，如图所示：根据1xx，解得352x．利用图象知不等式1xx的解集3502，．【典例2】(2018年全国卷Ⅲ理)设函数𝑓(𝑥)=|2𝑥+1|+|𝑥−1|．（1）画出𝑦=𝑓(𝑥)的图象；（2）当𝑥∈[0 ，  +∞)，𝑓(𝑥)≤𝑎𝑥+𝑏，求𝑎+𝑏的最小值．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）𝑓(𝑥)={−3𝑥,𝑥−12,𝑥+2,−12≤𝑥1,3𝑥,𝑥≥1.𝑦=𝑓(𝑥)的图象如图所示．（2）由（1）知，𝑦=𝑓(𝑥)的图像与𝑦轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当𝑎≥3且𝑏≥2时，𝑓(𝑥)≤𝑎𝑥+𝑏在[0,+∞)成立，因此𝑎+𝑏的最小值为5．【规律方法】函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．【变式探究】1.（2020·全国高一）已知()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()(2)fxxx（1）在给定坐标系下画出()fx的图像，并写出()fx的单调区间.（2）求出()fx的解析式.【答案】（1）图像见详解，单调递减区间为(]1,1，单调递增区间为(,1]，(1,)；（2）222,0()2,0xxxfxxxx＜【解析】（1）()fx的图像如图所示：可得其单调递减区间为(]1,1，单调递增区间为(,1]，(1,)；（2）当0x时，()(2)fxxx，且()fx为奇函数，可得当0x＜时，2()()[(2)](2)2fxfxxxxxxx故可得()fx的解析式为：222,0()2,0xxxfxxxx＜.2.（2020·全国高一）在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习过绝对值的意义00aaaaa．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数1ykxb中，当0x时，2y；当1x时，3y．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质；（3）在图中作出函数3yx的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式31kxbx的解集．【答案】（1）13yx；（2）图象、性质见解析；（3）3,01,3．【解析】（1）将点0,2、1,3的坐标代入函数1ykxb的解析式，得1213bkb，解得13kb,所以，函数的解析式为13yx；（2）图象如下：函数13yx的图象关于直线1x对称，该函数的单调递减区间为,1，单调递增区间为1,，最小值为3；（3）图象如下，观察图象可得不等式313xx的解集为：3,01,3．考点二：图象的变换【典例3】（2021·浙江绍兴市·高三三模）函数1222xfxexx的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据2111xfxex，得到fx的图象关于1x对称，再利用特殊值判断.【详解】因为21122211xxfxexxex，所以fx的图象关于1x对称，又020fe，故选：B【典例4】分别画出下列函数的图象：111221(31|)|||xylgxyfxlgx＋＝－；＝－；＝－【答案】见解析【解析】(1)首先作出y＝lgx的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|.如图1所示(实线部分).(2)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图2所示.(3)第一步作y＝lgx的图像．第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像．第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折，得1||fxlgx＝－的图像，如图3．【规律方法】1．平移变换当m0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．2．对称(翻折)变换y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．【变式探究】1.（2021·北京高三二模）已知指数函数xfxa，将函数fx的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数gx的图象，再将gx的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数fx的图象重合，则a的值是（）A．32B．23C．33D．3【答案】D【解析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数a的等式，进而可求得实数a的值.【详解】由题意可得3xgxa，再将gx的图象向右平移2个单位长度，得到函数23xfxa，又因为xfxa，所以，23xxaa，整理可得23a，因为0a且1a，解得3a.故选：D.2．（2020·上海高一课时练习）已知()yfx的图像如图①，则()yfx的图像是_________；()yfx的图像是_________；(||)yfx的图像是_________；|()|yfx的图像是________．【答案】④③⑤②【解析】因为()yfx的图像与()yfx的图像关于y轴对称，故()yfx的图像是④因为()yfx的图像与()yfx的图像关于x轴对称，故()yfx的图像是③当0x时，(||)yfx的图像与()yfx的图像相同，然后(||)yfx是偶函数，故(||)yfx的图像是⑤保留()yfx图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到的图像就是|()|yfx的图像故|()|yfx的图像是②故答案为：④，③，⑤，②考点三：图象的识别【典例5】（2021·四川高三三模（理））函数logafxxb及gxbxa，则yfx及()ygx=的图象可能为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】讨论01a、1a确定logafxxb的单调性和定义域、gxbxa在y轴上的截距，再讨论0b、0b，结合gxbxa的单调性，即可确定函数的可能图象.【详解】当01a时，10txb单调递减，()logaftt单调递减，所以1()logafxxb单调递增且定义域为(,)b，此时gxbxa与y轴的截距在(0,1)上，排除C.当1a时，10txb单调递减，()logaftt单调递增，所以1()logafxxb单调递减且定义域为(,)b，此时gxbxa与y轴的截距在(1,)上.∴当0b时，gx单调递增；当0b时，gx单调递减，故只有B符合要求.故选：B.【典例6】（2019·全国高考真题（理））函数3222xxxy在6,6的图像大致为A．B．C．D．【答案】B【解析】设32()22xxxyfx，则332()2()()2222xxxxxxfxfx，所以()fx是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又34424(4)0,22f排除选项D；36626(6)722f，排除选项A，故选B．【典例7】（2021·云南高三三模（理））函数2()1cose1xfxx的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性()fxfx；再次通过图像或函数表达式找特殊值代入求值，()0fx=时，即e1cos0e1xxx，此时只能是cos0x；也可通过单调性来判断图像.主要是通过排除法得解.【详解】函数fx的定义域为0xx，因为2e12e1()1coscoscose1e1e1xxxxxfxxxx，并且00e1ee1e()coscoscose1ee1exxxxxxfxxxxfx，所以函数fx为奇函数，其图象关于原点对称，可排除AC，；当()0fx=时，即e1cos0e1xxx，此时只能是cos0x，而cos0x的根是2xxkkZ，，可排除D.故选:B【总结提升】识图的三种常用方法1．抓住函数的性质，定性分析：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．2．抓住函数的特