【新高考复习】专题5.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用 2022年高考数学一轮复

专题5.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用新课程考试要求了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）、数据分析（例6）等.高考预测（1）“五点法”作图；（2）函数图象的变换；（3）三角函数模型的应用问题.（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.【知识清单】知识点1．求三角函数解析式（1）sinyAx的有关概念sinyAx0,0A，0,x表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A2T12fTx（2）用五点法画sinyAx一个周期内的简图用五点法画sinyAx一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x2322x02322sinyAx0A0－A0知识点2．三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数yfx向左平移0个单位，得到函数yfx的图象;把函数yfx向右平移0个单位，得到函数yfx的图象;+网】把函数yfx向上平移0个单位，得到函数yfx的图象;把函数yfx向下平移0个单位，得到函数yfx的图象.伸缩变换:把函数yfx图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1，得到函数01yfx的图象;把函数yfx图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1，得到函数1yfx的图象;把函数yfx图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A，得到函数1yAfxA的图象;把函数yfx图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A，得到函数01yAfxA的图象.2.由sinyx的图象变换出sinyx0的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sinyx的图象向左0或向右0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(0)，便得sinyx的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sinyx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0)平移个单位，便得sinyx的图象.注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当0时)或向右(当0时)平行移动个单位长度而得到.知识点3．函数sinyAx的图象与性质的综合应用（1）的递增区间是，递减区间是.（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin)yAx（的图象有无穷多条对称轴，可由方程2xkkZ解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由xkkZ，解得kxkZ，即其对称中心为,0kkZ．||sin()yxsinyxxysin2222kk，)(Zk23222kk，)(Zksin()yAxcos()yAx（3）若sin()yAx为偶函数，则有()2kkZ;若为奇函数则有()kkZ.（4）()sin()fxAx的最小正周期都是2||T.【考点分类剖析】考点一求三角函数解析式【典例1】【多选题】（2020·海南省高考真题）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A．πsin(3x）B．πsin(2)3xC．πcos(26x）D．5πcos(2)6x【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T，则222T，所以不选A,当2536212x时，1y5322122kkZ，解得：223kkZ，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263yxkxxx.而5cos2cos(2)66xx故选：BC.【典例2】（2020·山东五莲�高三月考）函数()sin()0,||2fxx的部分图象如图所示，则__________；将函数fx的图象沿x轴向右平移(0)2bb个单位后，得到一个偶函数的图象，则b__________.【答案】438【解析】根据函数的图象可得134884T，所以T，所以2，所以2，又因为18f，所以sin218，所以242k，kZ，所以24k，kZ，因为||2，所以4.所以()sin(2)4fxx，将()fx的图象沿x轴向右移b个长度单位得函数sin2sin2244yxbxb的图象，因为函数sin224yxb是偶函数，所以242bk，kZ，所以28kb，kZ，因为02b，所以1k，38b.故答案为：4；38.【规律方法】1.由sinyAx的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ．(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．(2)ω：因为T＝2πω，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T．(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π．在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．(4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－φω，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ．2.利用图象变换求解析式：由sinyx的图象向左0或向右0平移个单位，得到函数sinyx，将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(0)，便得sinyx，将图象上各点的纵坐标变为原来的A倍(0A)，便得sinyAx.【变式探究】1.（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）将函数sin2yx的图象向左平移π6个单位长度后得到曲线1C，再将1C上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C，则2C的解析式为（）A．πsin3yxB．πsin6yxC．πsin3yxD．πsin43yx【答案】A【解析】将函数sin2yx的图像向左平移π6个单位长度后得到曲线1C，则1C的解析式为sin2()sin(2)63yxx，再将1C上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C，则2C的解析式为1sin(2)sin()233yxx故选：A2.（2020·江苏南通�高三其他）已知函数sin0,0fxx的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移3个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式fx________.【答案】2sin23x【解析】因为函数sin0,0fxx的最小正周期是，所以22函数的图象向右平移3个单位长度后得到sin2()3yx，因为sin2()3yx关于原点对称，所以22()()33kkZkkZ203因此fx2sin23x故答案为：2sin23x【总结提升】根据函数的图象确定函数sin()yAx中的参数的主要方法：（1）A主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）主要由最小正周期T确定，而T的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）主要是由图象的特殊点的坐标确定．考点二三角函数图象的变换【典例3】（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））将函数f(x)的图象向左平移3个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的32倍，得到函数g(x)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（）A．f(x)的最小正周期为3B．f(x)在区间,93ππ上单调递减C．f(x)的图象关于直线x＝9对称D．f(x)的图象关于点,09成中心对称【答案】D【解析】根据函数图象求出gx解析式，再根据平移伸缩变换求出fx的解析式，然后根据fx的解析式逐项判断即可.【详解】根据g(x)的部分图象，可得A＝2，12521212，∴ω＝2．结合五点法作图，可得2×（﹣12）+φ＝2，∴φ＝23，故g(x)＝2sin（2x+23）．由题意，把g(x)的图象上的所有点的横坐标变为原来的23倍，再向右平移3个单位，可得f(x)＝2sin（3x+23﹣π）＝2sin（3x﹣3）的图象，故f(x)的最小正周期为23，故A错误；在区间,93ππ上，3x﹣3∈[0，23]，f(x)没有单调性，故B错误；令x＝9，求得f(x)＝0，不是最值，f(x)的图象不关于直线x＝9对称，故C错误；令x＝9，求得f(x)＝0，故f(x)的图象关于（9，0）对称，故D正确，故选：D．【典例4】【多选题】（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）为得到函数cos3yx的图象，只需将cos2yx的图象（）A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移6个单位长度B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移3个单位长度C．先向右平移6个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)D．先向右平移3个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)【答案】BC【解析】利用先伸缩再平移或是先平移再伸缩两种变换方法，判断选项.【详解】如果是先伸缩再平移，那么需先将cos2yx横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到cosyx，再向右平移3个单位长度，即得cos3yx如果是先平移再伸缩，需先将cos2yx向右6的单位长度，得到cos2cos263yxx，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），即得cos3yx.故选：BC【规律方法】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本