【新高考复习】考点11 函数的奇偶性与周期性（原卷版）

考点11函数的奇偶性与周期性【命题解读】关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1、奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．2、奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．(4)若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)＝f(x)．(5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．3、周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4、函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．5、函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0)．6、函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．1、下列函数为奇函数的是A．yxB．sinyxC．cosyxD．xxyee2、若函数))(12()(axxxxf为奇函数，则a=(A)21(B)32(C)43(D)13、设)(xf是定义在R上的奇函数，当0x≤时，2()2fxxx，则(1)f=A．－3B．－1C．1D．34、设函数()fx，()gx的定义域都为R，且()fx是奇函数，()gx是偶函数，则下列结论正确的是A．()fx()gx是偶函数B．()fx|()gx|是奇函数C．|()fx|()gx是奇函数D．|()fx()gx|是奇函数5、（2019·福建莆田一中模拟）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有()A．f32f－14f14B．f14f－14f32C．f32f14f－14D．f－14f－32f146、(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是()A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x＋2)为偶函数D．函数f(x－3)为偶函数7、(2018江苏)函数()fx满足(4)()()fxfxxR，且在区间(2,2]上，cos,02,2()1||,20,2xxfxxx≤-≤则((15))ff的值为．考向一奇偶性的定义与判断例1、判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝1－x2＋x2－1；(2)f(x)＝3－2x＋2x－3；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(5)f(x)＝x2＋x，x0，x2－x，x0.变式1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝9－x2＋x2－9；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2||x＋3－3.（4）f(x)＝－x2＋2x＋1，x0，x2＋2x－1，x0；变式2、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝1－x2＋x2－1；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2x2.方法总结：1.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结合定义作出判断．2.在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了．3.分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．考向二函数的周期性及应用例2、．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在R上的函数满足(3)(3)fxfx，且()fx图像关于1x对称，当(1,2]x时，2()log(21)fxx，则8252f________.变式1、已知函数f（x）满足f（0）＝2，且对任意x∈R都满足f（x+3）＝﹣f（x），则f（2019）的值为（）A．2019B．2C．0D．﹣2变式2、定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝___．变式3、设()fx是定义在R上的周期为2的函数，当[1,1)x时，242,10,(),01,xxfxxx，则3()2f．变式4、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)．方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件：fxafxb，fxafxb，cfxfxa，111fxfx，1111fxfxfx，111fxfx等．考向三函数奇偶性与单调性、周期性的应用例3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当12xx时，有1212[()()]()0fxfxxx恒成立，若(31)(2)0fxf，则x的取值范围是________．变式1、（2020·河南高三月考（理））已知(2)fx是偶函数，()fx在2，上单调递减，(0)0f，则(23)0fx的解集是（）A．2()(2)3，，B．2(2)3，C．22()33，D．22()()33，，变式2、（2017江苏）已知函数31()2xxfxxxee，其中e是自然数对数的底数，若2(1)(2)0fafa≤，则实数a的取值范围是．变式3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知fx为定义在R上的奇函数，当0x时，有1fxfx，且当0,1x时，2log1fxx，下列命题正确的是（）A．201920200ffB．函数fx在定义域上是周期为2的函数C．直线yx与函数fx的图象有2个交点D．函数fx的值域为1,1变式4、（多选题）（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在R上的函数yfx满足条件2fxfx，且函数1yfx为奇函数，则（）A．函数yfx是周期函数B．函数yfx的图象关于点1,0对称C．函数yfx为R上的偶函数D．函数yfx为R上的单调函数方法总结：1.已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．2.函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视．1、（2020全国Ⅱ文10）设函数331fxxx，则fx（）A．是奇函数，且在0,单调递增B．是奇函数，且在0,单调递减C．是偶函数，且在0,单调递增D．是偶函数，且在0,单调递减2、（2020山东8）若定义在R上的奇函数()fx在(,0)单调递减，且(2)0f，则满足(1)0xfx的x的取值范围是（）A．1,13,B．3,10,1C．1,01,D．1,01,33、(2018全国卷Ⅱ)已知()fx是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx．若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)…ffffA．50B．0C．2D．503、(2016山东)已知函数f(x)的定义域为R．当x0时，；当时，；当时，，则f(6)=A．−2B．−1C．0D．24、（多选题）（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在,0上单调递减的是（）A．2xyB．23yxC．1yxxD．2ln1yx5、（多选题）（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数22,0()(2),0xxxfxfxx，以下结论正确的是（）A．(3)(2019)3ffB．fx在区间4,5上是增函数C．若方程()1fxkx恰有3个实根，则11,24kD．若函数()yfxb在(,4)上有6个零点(1,2,3,4,5,6)ixi，则61iiixfx的取值范围是0,66、（2017新课标Ⅱ）已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当(,0)x时，32()2fxxx，则(2)f=．7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,上是减函数，10,3f则不等式18log0fx的解集为__________．3()1fxx11x()()fxfx12x11()()22fxfx