【新高考复习】考点25 弧度制及任意角的三角函数（解析版）

考点25弧度制及任意角的三角函数【命题解读】了解终边相同的角的意义；了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号【基础知识回顾】1.角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2.弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝__lr__，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③弧度与角度的换算：360°＝_2π_rad；180°＝__π__rad；1°＝__π180__rad；1rad＝__180π__度．④弧长公式：__l＝|α|r__．扇形面积公式：S扇形＝__12lr__＝__12|α|r2__．3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，tanα＝yx()x≠0．(2)特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°180°270°α弧度数_0__π6__π4__π3__π2__π__3π2_sinα_0__12__22__32__1__0__－1_cosα_1__32__22__12__0__－1__0_tanα_0__33__1__3__0_（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．1、下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋9π4(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)【答案】：C【解析】：与角9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．2．设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅【答案】：B【解析】：由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.3．若α是第四象限角，则π－α是第()象限角．A.一B.二C.三D.四【答案】：C【解析】：∵α是第四象限角，∴－π2＋2kπα2kπ，k∈Z，∴－2kπ－α－2kπ＋π2，k∈Z，∴π－2kππ－α－2kπ＋32π，k∈Z，故π－α是第三象限角．4．若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为()A.3π2B.3π4C.3π8D.3π16【答案】：B【解析】：设扇形的圆心角为α，∵扇形的面积为3π8、半径为1，∴3π8＝12α·12，∴α＝3π4.5、关于角度，下列说法正确的是()A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°B．钝角大于锐角C．三角形的内角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角【答案】：BD【解析】：对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；对于D，∵角α的终边在第二象限，∴2kπ＋π2＜α＜2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋π4＜α2＜2nπ＋π2，n∈Z，得α2是第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋π4＜α2＜(2n＋1)π＋π2，n∈Z，得α2是第三象限角，故正确．考向一角的表示及象限角例1（1）集合αkπ≤α≤kπ＋π4，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()（2）若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【答案】（1）B（2）C.【解析】（1）当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋π4(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋π4(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样．（2）∵α是第二象限角，∴π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．故选C.变式1、设角α是第三象限角，且sinα2＝－sinα2，则角α2是第________象限角．【答案】：四【解析】：由α是第三象限角，知2kπ＋πα2kπ＋3π2(k∈Z)，kπ＋π2α2kπ＋3π4(k∈Z)，所以α2是第二或第四象限角，再由sinα2＝－sinα2知sinα20，所以α2只能是第四象限角．变式2、若α是第三象限角，给出下列式子：①sinα＋cosα＜0；②tanα－sinα＜0；③tanαsinα＜0；④sin(cosα)＜0．其中成立的是________．(填序号)【答案】：①③④【解析】：α是第三象限角，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，则①、③显然成立，②不成立．又由α是第三象限角知，－1＜cosα＜0，所以sin(cosα)＜0，④成立．方法总结：本题考查象限角、终边相同的角、三角函数值所在象限的符号．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．三角函数值象限的符号牢记：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．考向二扇形的有关运算例2、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【解析】：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓．∵α＝60°＝π3，R＝10，∴l＝103π(cm)．∴S弓＝S扇－S△＝12×103π×10－12×102·sin60°＝50π3－32cm2．(2)∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝C2＋α，∴S扇＝12α·R2＝12αC2＋α2＝C22·α4＋4α＋α2＝C22·14＋α＋4α≤C216，当且仅当α＝4α，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值C216．变式1、扇形AOB的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.【解析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得2r＋l＝8，12lr＝3，解得r＝3，l＝2或r＝1，l＝6，∴α＝lr＝23或6.(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝12lr＝14l·2r≤14·l＋2r22＝14×822＝4，当且仅当2r＝l，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值，∴r＝2cm，∴弦长AB＝2×2sin1＝4sin1(cm)．变式2、已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．【解析】(1)因为α＝100°＝100×π180＝5π9，所以S扇形＝12lr＝12αr2＝12×5π9×4＝10π9.(2)由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，故S扇形＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，当r＝5时，S的最大值为25，此时l＝10，则α＝lr＝2方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．考向三三角函数的定义及应用例3、已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．【解析】：由题设知x＝－3，y＝m，∴r2＝|OP|2＝()－32＋m2(O为原点)，r＝3＋m2．∴sinα＝mr＝2m4＝m22，因为m≠0∴r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5．当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，∴cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，∴cosα＝－322＝－64，tanα＝153．变式1、（1）已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则1sinα＋1tanα＝____．（2）已知角α的终边与单位圆的交点为P－12，y，则sinα·tanα＝___．【答案】（1）－23.（2）－32【解析】（1）∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，∴cosα＝－xx2＋36＝－513，解得x＝52或x＝－52(舍去)，∴P－52，－6，∴sinα＝－1213，∴tanα＝yx＝125，则1sinα＋1tanα＝－1312＋512＝－23.（2）由OP2＝14＋y2＝1，得y2＝34，y＝±32.当y＝32时，sinα＝32，tanα＝－3，此时sinα·tanα＝－32.当y＝－32时，sinα＝－32，tanα＝3，此时sinα·tanα＝－32.变式2、(1)函数y＝loga(x－3)＋2(a0且a≠1)的图象过定点P，且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sinα＋cosα的值为()A.75B．65C.55D.355(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则1sinα＋1tanα＝________.【答案】（1）D（2）－23【解析】(1)因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝25，所以sinα＝55，cosα＝255，所以sinα＋cosα＝55＋255＝355.故选D.(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，所以cosα＝－xx2＋36＝－513，即x＝52或x＝－52(舍)．所以P－52，－6，r＝132，所以sinα＝－1213.所以tanα＝sinαcosα＝125，则1sinα＋1tanα＝－1312＋512＝－23.方法总结：1．明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．三角函数值只与角的大小有关，与点P在角的终边上的位置无关，由于P是除原点外的任意一点，故r恒为正，本题要注意对变量的讨论．考向四三角函数值的符号及判定例4、已知sinα＜0，tanα＞0．(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tanα2sinα2cosα2的符号．【解析】：(1)由sinα＜0，知α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上；由t