【新高考复习】考点08 函数的概念与运算（解析版）

考点08函数的概念与运算【命题解读】通过函数概念和函数解析式的学习，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题，逐步养成学习者的数学抽象能力。【基础知识回顾】1．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示法解析法图象法列表法就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．1、下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝elnx，g(x)＝xB．f(x)＝x2－4x＋2，g(x)＝x－2C．f(x)＝sin2x2cosx，g(x)＝sinxD．f(x)＝|x|，g(x)＝x2【答案】D【解析】A，B，C的定义域不同，所以答案为D.2、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）函数256yxx的定义域是____【答案】2,3【解析】依题意2560xx，即256320xxxx，解得2,3x.3、设函数f(x)＝1－x2（x≤1），x2＋x－2（x1），则f1f（2）的值为()A．1516B．－2716C．89D．18【答案】A【解析】当x1时，f(x)＝x2＋x－2，则f(2)＝22＋2－2＝4，∴1f（2）＝14，当x≤1时，f(x)＝1－x2，∴f1f（2）＝f14＝1－116＝1516．4、(2019南京三模）若函数f(x)＝2x，x≤0f(x－2)，x＞0，则f(log23)＝▲．【答案】．34【解析】因为1＜2log3＜2，所以f(log23)＝f(log23－2)＝22log3log32223224.5、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(1)＝____．【答案】9【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．∴a2,517,ba，解得2,7,ab∴f(x)＝2x＋7，从而得f(1)＝9.6、函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．【答案】[－3，0]∪[2，3][1，5][1，2)∪(4，5]【解析】观察图像结合函数的概念。考向一函数的概念例1(1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值；(2)下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有()A．()fxx与2()gxxB．()|1|ftt与()|1|gxxC．()fxx与2()log2xgxD．21()1xfxx与()1gxx【答案】BC．【解析】(1)(定义法)由对应法则1→4，2→7，3→10，又k→3k＋1，故a2＋3a＝10(a4＝10舍去)，解得a＝2或a＝－5(舍去)，故3k＋1＝a4＝16，解得k＝5.∴a＝2，k＝5.【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．（2）对于A，函数()fxx与2()||gxxx的解析式不同，表示相同函数；对于B，函数()|1|ftt的定义域为R，()|1|gxx的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C，函数()fxx的定义域为R，2()log2gxxx的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D，函数21()11xfxxx的定义域为(，1)(1，)，()1gxx的定义域为R，定义域不同，不是相同函数．故选：BC．变式1、下列各对函数中是同一函数的是()．A．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0B．f(x)＝（2x＋1）2与g(x)＝|2x＋1|；C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)；D．f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.【答案BD【解析】①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；②f(x)＝（2x＋1）2＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一函数；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，是同一函数．变式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.【答案】：③【解析】：对于③，因为当x＝4时，y＝23×4＝83∉Q，所以③不是函数．变式3、若一系列函数的解析：式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析：式为y＝2x2＋1，值域为{3,19}的“孪生函数”共有________个．【答案】：9【解析】：若y＝3，则由2x2＋1＝3，得x＝±1；若y＝19，则由2x2＋1＝19，得x＝±3．所以函数f(x)定义域可以是{1，－3}，{1,3}，{－1,3}，{－1，－3}，{－1,1,3}，{－1,1，－3}，{－3,1,3}，{－3，－1,3}，{－1，－3,1,3}，共有9个孪生函数．方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定义域A到值域B的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然；(2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数．考向二函数的解析式例3、(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．【解答】(1)(换元法)令2x＋1＝t，得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1，x∈(1，＋∞)．(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝2x＋1－2－x3.故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1－2－x3，x∈R.变式1、已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝12x2＋12x，【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.变式2、若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，则f（x）等于（）A．x+1B．x﹣1C．2x+1D．3x+3【答案】A．【解析】函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，令x＝﹣x，则：f（﹣x）﹣2f（x）＝3（﹣x）﹣1．则：，解方程组得：f（x）＝x+1．故选：A．变式3、如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动，设点P移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．(1)求△ABP的面积与点P移动的路程间的函数关系式；(2)作出函数的图像，并根据图像求y的最大值．【解析】(1)考虑到点P在正方形ABCD四边上移动时△ABP的面积y与路程x的解析式不同，应分段进行考虑，首先，这个函数的定义域为(0，12]．当0＜x≤4时，S＝f(x)＝12·4·x＝2x；当4＜x≤8时，S＝f(x)＝8；当8＜x＜12时，S＝f(x)＝12·4·(12－x)＝2(12－x)＝24－2x.∴这个函数的解析式为f(x)＝2x,(0,4]8,(4,8]242,(8,12]xxxx(2)作出其图像如图所示，由图像可知，f(x)max＝8.∴y的最大值为8.方法总结：函数解析式的常见求法函数解析式的求法主要有以下几种：(1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f1x(或f(－x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．考向三分段函数例3、（1）已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg（x2＋1），x1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.（2）、已知3,94,9xxfxffxx则f(7）=______.（3）(2019苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝log2（3－x），x≤0，2x－1，x0，若f(a－1)＝12，则实数a＝________．（4）、(2018南京、盐城、连云港、徐州二模）已知函数f(x)＝12x＋1，x≤0，－x－12，x0，则不等式f(x)≥－1的解集是________．【答案】（1）022－3；（2）6（3）log23（4）[－4,2]【解析】（1）∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋2x－3≥22－3，当且仅当x＝2时，取等号，此时f(x)min＝22－30；当x1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(