【新高考复习】考点10 函数的单调性（解析版）

考点10函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1.函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)(或都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2.函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3.复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4.函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2）x1－x20⇔f(x)在D上是增函数；f()x1－f()x2x1－x20⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋ax(a0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)．(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；(2)若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)函数y＝f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反；(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f（x1）－f（x2）x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f（x1）－f（x2）x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是减函数．1、函数y＝x2－5x－6在区间[2，4]上是()A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增函数D．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y＝1x－1在[2，3]上的最小值为()A．2B.12C.13D．－12【答案】B【解析】因为y＝1x－1在[2，3]上单调递减，所以ymin＝13－1＝12.故选B.3、已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)f13的x的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23【答案】D【解析】因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)f13.所以0≤2x－113，解得12≤x23.故选D.4、设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(D)A.y＝1f（x）在R上为减函数B.y＝|f(x)|在R上为增函数C.y＝－1f（x）在R上为增函数D.y＝－f(x)在R上为减函数【答案】D.【解析】如f(x)＝x3，则y＝1f（x）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x＝0时无意义，A、C错；y＝|f(x)|是偶函数，在R上无单调性，B错．故选D.5、对数函数log(0ayxa且1)a与二次函数2(1)yaxx在同一坐标系内的图象不可能是()A．B．C．D．【答案】BD．【解析】：若1a，则对数函数logayx在(0,)上单调递增，二次函数2(1)yaxx开口向上，对称轴102(1)xa，经过原点，可能为A，不可能为B．若01a，则对数函数logayx在(0,)上单调递减，二次函数2(1)yaxx开口向下，对称轴102(1)xa，经过原点，可能为C，不可能为D．故选：BD．6、函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间是；单调递减区间是．【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(－∞，1－2)，(1，1＋2)．【解析】作出函数y＝|－x2＋2x＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】函数f（x）＝21xx在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下：设x1、x2∈[1，＋∞），且x1x2，则f（x1）－f（x2）＝1211xx－2221xx＝2212212212(1)(1)1)(1)xxxxxx（＝11122212()(1)1)(1)xxxxxx（.∵x1、x2∈[1，＋∞），且x1x2，∴x1－x20，1－x1x20.又（1＋x21）（1＋x22）0，∴f（x1）－f（x2）0，即f（x1）f（x2）.∴f（x）＝21xx在[1，＋∞）上为减函数.变式1、试讨论函数f(x)＝x＋kx(k0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令x1x2，那么f(x2)－f(x1)＝x2＋kx2－x1＋kx1＝(x2－x1)＋k1x2－1x1＝(x2－x1)x1x2－kx1x2．因为0x1x2，所以x2－x10，x1x20．故当x1，x2∈(k，＋∞)时，f(x1)f(x2)，即函数在(k，＋∞)上单调递增．当x1，x2∈(0，k)时，f(x1)f(x2)，即函数在(0，k)上单调递减．考虑到函数f(x)＝x＋kx(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k)上单调递增，在(－k，0)上单调递减．综上，函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减．法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．f′(x)＝1－kx2．令f′(x)0得x2k，即x∈(－∞，－k)或x∈(k，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞)．令f′(x)0得x2k，即x∈(－k，0)或x∈(0，k)，故函数的单调减区间为(－k，0)和(0，k)．故函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减．变式2、试讨论函数f(x)＝axx2＋1(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】(方法1)设x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21＋1－ax2x22＋1＝ax1（x22＋1）－ax2（x21＋1）（x21＋1）（x22＋1）＝a[x1x22＋x1－x2x21－x2]（x21＋1）（x22＋1）＝a（x2－x1）（x1x2－1）（x21＋1）（x22＋1）.∵x1＜x2，x2－x10，又a0，(x21＋1)(x22＋1)0.∴当x1，x2∈(0，1)时，x1x2－10，从而a（x2－x1）（x1x2－1）（x21＋1）（x22＋1）0，即f(x1)－f(x2)0⇒f(x1)f(x2)，此时f(x)＝axx2＋1(a＞0)单调递增；当x1，x2∈(1，＋∞)时，x1x2－10，从而a（x2－x1）（x1x2－1）（x21＋1）（x22＋1）0，即f(x1)－f(x2)0⇒f(x1)f(x2)，此时f(x)＝axx2＋1(a＞0)单调递减．∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结：1.判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2.应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y＝－x2＋2|x|＋1；（2）、.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x21,0xxxxx≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.xxyxx≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y＝|x|(1－x)＝x（1－x），x≥0，－x（1－x），x0＝－x2＋x，x≥0，x2－x，x0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是()A.32，＋∞B.1，32和[2，＋∞)C．(－∞，1]和32，2D.－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y＝|x2－3x＋2|=x2－3x＋2，x≤1或x≥2，－x2－3x＋，1＜x＜2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)．变式2、函数f(x)＝x＋12x＋1的单调减区间为________________．【答案】－∞，－12，－12，＋∞【解析】因为f(x)＝x＋12x＋1＝x＋12＋122x＋1＝12＋14x＋12，且定义域为x|x≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三复合函数的单调区间例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x2－2x－3；（2）212log(32)yxx【解析】(2)f(x)＝x2－2x－3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t＝x2－2x－3，∵t＝x2－12x－3在x∈(－∞，－1]上是减函数，在x∈[3，＋∞)为增函数，又y＝t在t∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x2－2x－3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看成12logyu与u＝x2－3x＋2的复合函数．由x2－3x＋2＞0，解得x＜1或x＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12logyu在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f(