【新高考复习】考点16 二次函数与幂函数（解析版）

考点16二次函数与幂函数【命题解读】二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a0)y＝ax2＋bx＋c(a0)图象(抛物线)定义域R值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在－∞，－b2a上是减函数；在－b2a，＋∞上是增函数在－∞，－b2a上是增函数；在－b2a，＋∞上是减函数[常用结论与微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a0，Δ0时恒有f(x)0；当a0，Δ0时，恒有f(x)0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.1、幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()【答案】C【解析】(1)设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0x1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确.2、已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)f(1)，则()A．a0,4a＋b＝0B．a0,4a＋b＝0C．a0,2a＋b＝0D．a0,2a＋b＝0【答案】A【解析】由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)f(1)，f(4)f(1)，∴f(x)先减后增，于是a0，故选A3、若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，2)【答案】A【解析】二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝2k，当k0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k≤1，解得k≥2.当k0时，2k0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．4、若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为74，4，则m的取值范围为()A．(0，4]B.32，4C.32，3D.32，＋∞【答案】C【解析】y＝x2－3x＋4＝x－322＋74的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4，又值域为74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m≤3，故选C.5、不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，4]D．（﹣∞，﹣4]【答案】B【解析】f（x）＝x2+a|x|+4为偶函数；当a≥0，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，对称轴x＜0，f（0）＝4＞0，不等式恒成立；当a＜0时，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，可得△＝a2﹣16≤0显然成立解得﹣4≤a＜0，综上a∈[﹣4，+∞）．故选：B．.6、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的(,1)(5,)x，都有22(2)0xaxa，则实数a的取值范围是▲．【答案】]5,1(【解析】当04)2(42aa，即0452aa，41a时，满足题意；当04)2(42aa，即0452aa，1a或4a时，则0)2(1050)2(2152)2(2122aaaaa，解之得5573aaa，所以53a，又因为1a或4a，所以54a，综上所述，实数a的取值范围为]5,1(。考向一幂函数的图像与性质1．幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的解析式为___________．2．图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知α取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为____________．3．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？【答案】（1）12fxx．（2）2，12，－12，－2（3）m＝－1．【解析】（1）令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝12，∴12fxx．（2）：2，12，－12，－2（3）∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1．当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．∴m＝－1．变式1、已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2【答案】B【解析】∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上是减函数，∴n2＋2n－2＝1，n2－3n0，∴n＝1，又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.故选B.变式2、若a＝1223，b＝1523，c＝1213，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cabC．bcaD．bac【答案】D【解析】因为y＝x23在第一象限内是增函数，所以a＝1223b＝1523，因为y＝12x是减函数，所以a＝1223c＝1213，所以bac.故选D.方法总结：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．考向二一元二次函数的解析式例2、（2）设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是________(填序号)．（2）已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是______．（3）．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解析】（1）由①③④知，f(0)＝c＜0．∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－b2a＞0，知①，③错误，④符合要求．由②知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－b2a＜0，②错误．（2）作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有f（m）＜0，f（m＋1）＜0，即m2＋m2－1＜0，（m＋1）2＋m（m＋1）－1＜0，解得－22＜m＜0．（3）法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2＋－12＝12．∴m＝12．又根据题意函数有最大值8，∴n＝8．∴y＝f(x)＝ax－122＋8．∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7．法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1．又函数有最大值ymax＝8，即4a－2a－1－a24a＝8．解得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7．变式1变式、已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.【答案】x2－4x＋3【解析】因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：考向三根的分布问题例3、(2019苏州期末）、已知函数2()442()Rfxxaxaa．（1）若()fx的两个零点均小于2，求实数a的取值范围；（2）方程()0fx在(1,2)上有且只有一个实根，求实数a的取值范围．解析（1）由题意，等价于220(2)0af≥，解得1a≤或1827a≤．（2）①当(1)(2)0ff时，此时()0fx在(1,2)上有且只有一个实根，得1827a；②当(1)0f时，即2a时，此时()0fx有1x，舍去；③当(2)0f时，即187a时，此时()0fx有2x或47x，舍去，综上：1827a．变式1、(2017苏锡常镇调研）已知函数2()442()Rfxxaxaa，若()fx有一个小于1与一个大于2的两个零点，求实数a的取值范围．【答案】187a解析由题意，等价于(1)0(2)0ff，解得187a．变式2、已知函数2()442()Rfxxaxaa，方程()0fx在(1,2)上有实根，求实数a的取值范围．解析1①当(1)(2)0ff时，此时()0fx在(1,2)上有且只有一个实根，得1827a；②当(1)0f时，即2a时，此时()0fx有1x，舍去；③当(2)0f时，即187a时，此时()0fx有2x或47x，舍去，④当1222(1)0(2)0aff≥时，此时()0fx在(1,2)上有两个实根，无解；综上：1827a．解析2方程即为2(41)42axx，因为12x时410x，于是24241xax，令41(3,7)tx