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考点17函数与方程【命题解读】函数零点以及求参数范围等问题时高考重点考查的内容,不仅在大题中体现,同时在小题中也加以考查,难度控制在中等以上。【基础知识回顾】1、函数的零点(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使方程f(x)=0的实数x称为函数y=f(x)的零点.(2)方程的根与函数零点的关系:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.所以函数y=f(x)有零点等价于函数y=f(x)的图像与x轴有交点,也等价于方程f(x)=0有实根.(3)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的图像是一条连续的曲线,且有f(a)·f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时c就是方程f(x)=0的根.但反之,不成立.2、二分法对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.求方程f(x)=0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值.3、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与零点的关系Δ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像交点(x1,0),_(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2104、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.1、若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点为()A.0或-12B.0C.-12D.0或122、函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,2)内的零点个数是()A.1B.2C.3D.43、若函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是()A.15,+∞B.-1,15C.(-∞,-1)D.(-∞,-1)∪15,+∞4、函数f(x)=lnx-x2+2x,x>0,4x+1,x≤0的零点个数是________.5、已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为________.7、(一题两空)已知函数f(x)=1x,x≥1,x3,x<1,若f(x0)=-1,则x0=________;若关于x的方程f(x)=k有两个不同零点,则实数k的取值范围是________.考向一判断零点所在的区间例1、(2019·山东师范大学附中高三月考)函数312xfxx的零点所在区间为()A.1,0B.10,2C.1,12D.1,2变式1、(1)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)(2)已知函数f(x)=lnx-212x的零点为x0,则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(3)若x0是方程12x=x13的解,则x0属于区间()A.23,1B.12,23C.13,12D.0,13方法总结:确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法:(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,不满足条件时,一定要综合函数性质进行分析判断.考向二判断零点的个数例2、(1)函数f(x)=1212xx的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是()A.1B.2C.3D.4(3)(2015·江苏卷)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=0,0<x≤1,|x2-4|-2,x>1,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为________.变式1、(2019苏州三市、苏北四市二调)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且在区间[2,4)上43,432,2)(xxxxxf则函数xxfylog5)(的零点的个数为变式2、(1)(2019·十堰调研)已知函数f(x)=ln(x-1),x1,2x-1-1,x≤1,则f(x)的零点个数为()A.0B.1C.2D.3(2)(2020·惠州质检)函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点的个数为()A.0B.1C.2D.3方法总结:函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理,要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数;(3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.考向三与零点有关的参数的范围例3、(1)已知函数f(x)=2x3+3x2+m,0≤x≤1,mx+5,x1,若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点,则实数m的取值范围是________.(2)(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=x2-2x+12.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是________.变式1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)设函数f(x)=e-x-12,x0,x3-3mx-2,x≤0(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点,则实数m的取值范围是________.变式2、若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是____________.方法总结:函数零点求参数范围,其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数,将函数的零点问题转化为两函数图象问题,体现转化与化归思想及数形结合思想,从而体现核心素养中的直观想象考向四零点的综合运用例4、已知函数f(x)=x+1,x≤0,x2-2x+1,x0,若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的实数解,则a的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(0,2)变式1、设函数f(x)=||xx+2-ax2(a∈R).(1)当a=2时,求函数y=f(x)的零点;(2)当a0时,求证:函数y=f(x)在区间(0,+∞)内有且只有一个零点;(3)若函数y=f(x)有4个不同的零点,求实数a的取值范围.变式2:(2018镇江期末)已知k为常数,函数f(x)=x+2x+1,x≤0,|lnx|,x0,若关于x的方程f(x)=kx+2有且只有四个不同解,则实数k的取值构成的集合为________.方法总结:函数零点与二次函数的综合问题,主要考查函数零点、方程的根以及不等式的解法等基础知识和基本方法,考查推理论证和运算求解的能力.解决这类问题,一是用零点的定义转化为方程问题,二是利用零点存在定理转化为函数问题,三是利用数形结合的思想转化为图形问题.1、(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln0,≤,,,xexfxxx()()gxfxxa.若()gx存在2个零点,则a的取值范围是A.[1,0)B.[0,)C.[1,)D.[1,)2、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)已知函数.若函数在上无零点,则的最小值为________.3、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)已知函数2,()fxxaxbabR在区间2,3上有零点,则2aab的取值范围是()A.,4B.81,8C.814,8D.81,84、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)已知函数2ln1fxx,gxaxm,若存在实数0a使yfxgx在1ee,上有2个零点,则m的取值范围为________.212lnfxaxxfx10,2a
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