【新高考复习】考点31 正弦定理、余弦定理（原卷版）

考点31正弦定理、余弦定理【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等【基础知识回顾】1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的常见变形(1)cosA＝b2＋c2－a22bc；(2)cosB＝c2＋a2－b22ca；(3)cosC＝a2＋b2－c22ab.3．三角形的面积公式(1)S△ABC＝12aha(ha为边a上的高)；(2)S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．1、在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，C＝120°，则AC等于()A．1B．2C．3D．42、已知△ABC，a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于()A．25B.5C．25或5D．均不正确3、在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32B.3C．23D．24、在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB等于()A．42B.30C.29D．255、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定6、在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形7、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为．8、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA－3cosCcosB＝3c－ab，则sinCsinA的值为__________．考向一运用正余弦定理解三角形例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC△中，若13,3,120ABBCC，则AC=（）A．1B．2C．3D．4变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（）A．B．C．D．变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在ABC中，如果sin:sin:sin2:3:4ABC，那么tanC________．变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为,,abc，若coscossinABCabc，22265bcabc，则tanB______．变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知10ab，5c，sin2sin0BB．（1）求a，b的值：（2）求sinC的值．方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．考向二利用正、余弦定理判定三角形形状例2、（多选题）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是()ABC3AC2BC3cos4CtanA56765373A．若tanA＋tanB＋tanC0，则△ABC是锐角三角形B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形D．若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是等边三角形变式1、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．变式2、(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAsinB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形方法总结：判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．考点三运用正余弦定理研究三角形的面积考向三运用正余弦定理解决三角形的面积例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA．(1)求角A的大小；(2)若AB→·AC→＝3，求△ABC的面积．变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sinAcosA－3sinBcosB．(1)求角C的大小；(2)若sinA＝45，求△ABC的面积．变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC的对边，若32sinsinsin,cos5BACB，且6ABCS，则b__________．变式3、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3b，222sinsin3sinABC，1cos3A，则ABC的面积是______．方法总结：1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考向三结构不良题型例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sinsin)()sinabABcbC，②sincos()6aBbA，③sinsin2BCbaB中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，6bc，26a，.求ABC的面积.变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，若ABC同时满足下列四个条件中的三个：①2633()baaccab；②2cos22cos12AA；③6a；④22b.（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）变式2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在①3(cos)sinbCacB；②22cosacbC；③sin3sin2ACbAa这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，23,b4ac，求ABC的面积.1、【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=A．19B．13C．12D．232、【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC△中，5cos25C，1BC，5AC，则ABA．42B．30C．29D．253、【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC△的内角ABC，，的对边分别为a，b，c，若ABC△的面积为2224abc，则CA．π2B．π3C．π4D．π64、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc.若π6,2,3bacB，则ABC△的面积为_________．5、【2019年高考浙江卷】在ABC△中，90ABC，4AB，3BC，点D在线段AC上，若45BDC，则BD___________，cosABD___________．6、【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若7a，b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC的内角A，B，C的对边分别为,,abc，已知2coscos0acBbA.（I）求B；（II）若3,bABC的周长为323ABC，求的面积.8、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知10ab，5c，sin2sin0BB．（1）求a，b的值：（2）求sinC的值．9、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①3ac，②sin3cA，③3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC△，它的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sin3sinAB，6C，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．