【新高考复习】考向49 二项分布与正态分布-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用

考向49二项分布与正态分布1．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布210,N，下列结论中不正确的是（）A．越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A，2为数据的方差，所以越小，数据在10附近越集中，所以测量结果落在9.9,10.1内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在9.9,10.0的概率与落在10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在9.9,10.2的概率与落在10,10.3的概率不同，故D错误.故选：D.2．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】232027【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C.故答案为：23；2027.1.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))(1)X的取值为0,1,2，…，n.(2)P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n，p为试验成功的概率)．提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．2.二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．3.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中0pAp.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为01pp，即pAp，1pApq.由于试验的独立性，n次试验中，事件A在某指定的k次发生，而在其余nk次不发生的概率为knkpq.而在n次试验中，事件A恰好发生0kkn次的概率为kknknnPkCpq，0,1,2,,kn.它恰好是npq的二项展开式中的第1k项．4.在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．5.解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次．6.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．7．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．8.二项分布中的概率最值问题一般地，若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，其中0p1，则有PX＝kPX＝k－1＝n－k＋1pk1－p＝1＋n＋1p－kk1－p(1≤k≤n)，当且仅当k≤(n＋1)p时，P(X＝k)≥P(X＝k－1)，所以P(X＝k)在(n＋1)p的左侧严格递增，右侧严格递减，故有：(1)如果(n＋1)pn，则当k取n时，P(X＝k)最大．(2)如果(n＋1)p是不超过n的正整数，则当k＝(n＋1)p－1和(n＋1)p时，P(X＝k)都达到最大值．(3)如果(n＋1)p是不超过n的非整数，那么当k＝[(n＋1)p]时([(n＋1)p]表示不超过(n＋1)p的最大整数)，P(X＝k)最大．9.求二项分布的最值的方法：①根据ξ～B(n，p)，列出分布列P(ξ＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2,3，…，n.②利用比较法(作差或作商)比较P(ξ＝k－1)和P(ξ＝k)的大小．③令P(ξ＝k)－P(ξ＝k－1)≥0或Pξ＝kPξ＝k－1≥1，求出k的取值区间，此区间即为P(ξ＝k)的单调增区间，它的补集即为单调减区间．④结合P(ξ＝k)的单调性确定P(ξ＝k)的最大值和对应的k的值．10.与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．11.求正态曲线的两个方法(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为12πσ．(2)待定系数法：求出μ，σ便可．12.正态分布下2类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．13.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1．(2)熟记P(μ－σX≤μ＋σ)，P(μ－2σX≤μ＋2σ)，P(μ－3σX≤μ＋3σ)的值．(3)注意概率值的求解转化：①P(Xa)＝1－P(X≥a)；②P(Xμ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若bμ，则P(Xb)＝1－Pμ－bXμ＋b2．特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称．二项分布1.若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cknpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)于是得到X的分布列X01…k…nPC0np0qnC1np1qn－1…Cknpkqn－k…Cnnpnq0由于表中第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝C0np0qn＋C1np1qn－1＋…＋Cknpkqn－k＋…＋Cnnpnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．2.二项分布的期望、方差：若,XBnp，则EXnp.若,XBnp，则1DXnpp．正态分布1．正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值12πσ；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：甲乙2．正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝abφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布(normaldistribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974．4．3σ原则通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．【常用结论】牢记且理解事件中常见词语的含义：(1)A、B中至少有一个发生的事件为AB；(2)A、B都发生的事件为AB；(3)A、B都不发生的事件为AB；(4)A、B恰有一个发生的事件为ABAB；(5)A、B至多一个发生的事件为ABABAB.1．（2010·福建·厦门双十中学一模（理））已知三个随机变量的正态密度函数2221e,1,2,32iixiifxxiR的图象如图所示，则（）A．123，123B．123，123C．123，123D．123，1232．（2021·全国·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（）A．已知随机变量X，Y，满足24XY，且X服从正态分布(3,1)N，则1()2EYB．已知随机变量X服从二项分布15,3B，则80(3)243PXC．已知随机变量X服从正态分布(4,1)N，且(5)0.1587PX，则(35)0.6826PXD．已知一组数据1x，2x，3x，4x，5x，6x的方差是3，则数据141x，241x，341x，441x，541x，641x的标准差是433．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））随机变量~(2)XBp，，2~(2)YN，，若(1)0.64PX，(02)PYp，则(4)PY________4．（2021·广西桂林·模拟预测（理））已知随机变量X服从正态分布22,N，若(3)0.8PX，则(1)PX__________．1．（2021·江苏镇江·一模）若随机变量~3,XBp，2~2,YN，若(1)0.657,(02)PXPYp，则(4)PY（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.82．（2021·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））某批零件的尺寸X服从正态分布210,N，且满足196Px，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为（）A．7B．6C．5D．43．（2021·广东韶关·一模）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为（）A．925B．25C．35D．344．（2020·全国·模拟预测（理））已知圆2228130xyxy的圆心到直线10kxykZ的距离为22，若14,4XB，则使PXk的值为（）A．23B．35C．13D．27645．（2020·浙江·温