【新高考复习】考向51 变量间的相关关系、统计案例-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考

考向51变量间的相关关系、统计案例1．（2020·全国·高考真题（理））某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)iixyi得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．yabxB．2yabxC．exyabD．lnyabx【答案】D【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是lnyabx.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.2．（2020·海南·高考真题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO浓度（单位：3μg/m），得下表：2SOPM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，2()PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得22列联表；（3）计算出2K，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的天数有32618864天，所以该市一天中，空气中的2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的概率为640.64100；（2）由所给数据，可得22列联表为：2SO2.5PM0,150150,475合计0,7564168075,115101020合计7426100（3）根据22列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426nadbcKabcdacbd36007.48446.635481，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中2.5PM浓度与2SO浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22列联表，考查了独立性检验，属于中档题.1.回归分析问题的类型及解题方法(1)求回归方程①根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关．②利用公式，求出回归系数b^.③待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数a^.(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．(3)利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数b^.(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．2.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强.3.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表：(2)根据公式χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）计算χ2；(3)通过比较χ2与临界值的大小关系来作统计推断.1．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程为y^＝b^x＋a^，其中121niiiniixxyybxx，aybx$$.(3)通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．(4)相关系数：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．3．独立性检验(1)2×2列联表设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)独立性检验利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值k＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．【常用结论】(1)求解回归方程的关键是确定回归系数a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点(x－，y－)．(2)根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．(3)根据回归方程计算的b^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．1．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程为^^ ybxa，计算得^7b，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为（）A．75万元B．85万元C．95万元D．105万元2．（2018·河北衡水中学一模（理））如图，5个(,)xy数据，去掉(3,10)D后，下列说法错误的是（）A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强3．（2021·全国·模拟预测（理））已知对于一组数据11,xy，22,xy，…，1010,xy，y关于x的线性回归方程为ˆ27.2yx，若1016iix，则101iiy______．4．（2021·四川内江·模拟预测（文））有人发现，多看手机容易使人近视，下表是调查机构对此现象的调查数据：近视不近视总计少看手机154560多看手机15520总计305080则在犯错误的概率不超过__________的前提下认为近视与多看手机有关系.附表：2PKk0.150.100.050.0100.0250.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：22nadbcKabcdacbd，其中nabcd.1．（2021·广东肇庆·模拟预测）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间x（单位：小时）与工资y（单位：元）之间的关系如下表：x24568y3040506070若y与x的线性回归方程为ˆ6.5yxa，预测当工作时间为9小时时，工资大约为（）A．75元B．76元C．77元D．78元2．（2019·辽宁大连·一模）设有一个回归方程为21.5ˆyx，则变量x增加一个单位时（）A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位3．（2021·黑龙江肇州·模拟预测（文））为了了解山高y（km）与气温x（℃）的关系，登山人员随机抽测了5次山高与相应气温，如下表：气温（℃）2214814山高（km）2233384752由表中数据，得到线性回归方程1.1yxa，由此估计山高56km处气温大约为（）A．7.4℃B．8.2℃C．8.8℃D．9.2℃4．（2021·江西丰城·模拟预测（理））对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A．24310rrrrB．42130rrrrC．42310rrrrD．24130rrrr5．（2021·山东菏泽·二模）下列说法错误的是（）A．用相关指数2R来刻画回归效果，2R越小说明拟合效果越好B．已知随机变量2~(5,)XN，若(1)0.1Px，则(9)0.9PxC．某人每次投篮的命中率为35，现投篮5次，设投中次数为随机变量Y．则7(2)1EYD．对于独立性检验，随机变量2K的观测值k值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大6．（2021·河南·模拟预测（文））由一组样本点1,1、2,1.2、3,2.1、4,2.7、5,3，根据最小二乘法求得的回归方程为0.55yxa，则a___________.7．（2021·全国·模拟预测）某企业一种商品的产量与单位成本数据如下表：产量x（万件）234单位成本y（元/件）3a7现根据表中所提供的数据，求得y关于x的线性回归直线方程为25ayx，则预测当5x时单位成本为每件______元.8．（2021·福建·漳州三中三模）根据下面的数据：x1234y32487288求得y关于x的回归直线方程为19.212yx，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为___________.(注：残差是指实际观察值与估计值之间的差.)9．（2021·江西南昌·一模（理））2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：调查人数x300400500600700感染人数y33667并求得y与x的回归方程为0ˆ0.11yxa，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N；注射疫苗后仍被感染的人数记为n，则估计该疫苗的有效率为__________．（疫苗的有效率为1nN；参考数据：1109.50.009132；结果保留3位有效数字）10．（2020·广东·大沥高中模拟预测）某工厂在疫情形势好转的情况下，复工后的前5个月的利润情况如下表所示：第1个月第2个月第3个月第4个月第5个月利润（单位：万元）111275180设第i个月的利润为y万元．（1）根据表中数据，求y关于i的方程^^^21ybia（^b，^a的值要求保留小数点后四位有效数字）；（2）根据已知数据求得回归方程后，为验证该方程的可靠性，可用一个新数据加以验证，方法如下：先计算新数据00,xy对应的残差^000yy，再计算00y，若000.05y，则说明该方程是可靠的，否则说明不可靠．现已知该厂第6个月的利润为120万元，是判断(1)中求得的回归方程是否可靠，说明你的理由．参考数据：44441234354，取419=4.816187．附：回归直线^^^ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为^1221niiiniixynxybxnx，^^^aybx．11．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（文））推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择．为加