【新高考复习】专题06 数学情景与新文化100题(解析版)

专题06数学情景与新文化100题类型一:函数类新文化题型一、单选题1．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log1SCWN.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C大约增加了（）A．10%B．30%C．50%D．100%【答案】A【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为2log(11000)CW和2log(12000)CW，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案.【详解】当1000SN时，2log(11000)CW当2000SN时，2log(12000)CW则2222222log(12000)log(11000)log20011log1000111lg2log(11000)log1001log10003又113411lg10lg2lg1043，根据选项分析，1lg20.13所以信噪比SN从1000提升至2000，则C大约增加了10%.故选：A.【点睛】本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.2．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMvvm计算火箭的最大速度m/sv，其中0m/sv是喷流相对速度，kgm是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（lg0.434e，lg20.301）（）A．4890m/sB．5790m/sC．6219m/sD．6825m/s【答案】C【分析】根据题意把数据代入已知函数可得答案.【详解】0lg5003lg2ln1000ln500100010006219/lglgMvvmsmee．故选：C.3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为A．128.5米B．132.5米C．136.5米D．110.5米【答案】C【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案．【详解】胡夫金字塔原高为h，则23043.141592h，即2304146.423.14159h米，则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C．【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．4．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足2log(1)SCWN，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）(附：lg20.3010)A．10%B．20%C．30%D．40%【答案】B【分析】先计算1000SN和4000SN时的最大数据传输速率1C和2C，再计算增大的百分比211CCC即可.【详解】当1000SN时，122log1001log1000CWW；当4000SN时，222log4001log4000CWW.所以增大的百分比为：2122112log4000lg4000lg4lg10001111log1000lg1000lg1000CCCWCCWlg42lg220.30100.220%lg100033.故选：B.5．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log1SCWN.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至8000，则C大约增加了(lg20.3010)（）A．10%B．30%C．60%D．90%【答案】B【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；【详解】解：当1000SN时，12log1000CW，当8000SN时，22log8000CW，∴2212log8000lg800033lg21.3log1000lg10003CWCW，∴约增加了30%.故选：B6．2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200秒后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度(v单位:km/s)与燃料质量M(单位:kg)､火箭质量(m单位:kg)的函数关系为2ln1Mvm，若已知火箭的质共为3100kg,火箭的最大速度为11km/s,则火箭需要加注的燃料为(参考数值为ln20.69;ln244.695.50,结果精确到0.01)（）A．243.69tB．244.69tC．755.44tD．890.23t【答案】C【分析】利用指对互化解出M，可得火箭需要加注的燃料的估算值．【详解】2ln1Mvm，则112ln13100M，所以5.51e3100M解得5.53100e13100243.69755439kg755.44tM故选：C7．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：()coshxfxcaca2xxaaeea（e为自然对数的底数）．当0c=，1a时，记(1)pf，12mf，(2)nf，则p，m，n的大小关系为（）．A．pmnB．nmpC．mpnD．mnp【答案】C【分析】先利用导数证明函数()fx在区间()0,+?上单调递增，再结合单调性比较大小即可.【详解】由题意知，()2xxeefx，21()22xxxxeeefxe当0x时，()0fx，即函数()fx在区间()0,+?上单调递增1(1)(1)2eeff10122，1(1)(2)2fff，即mpn故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用导数证明函数()fx的单调性，再结合单调性比较大小.8．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1℃，空气温度为0℃，则mint后物体的温度（单位：℃）满足：010kte（其中k为常数，2.71828e…）．现有某物体放在20℃的空气中冷却，2min后测得物体的温度为52℃，再经过6min后物体的温度冷却到24℃，则该物体初始温度是（）A．80℃B．82℃C．84℃D．86℃【答案】C【分析】先利用第二次冷却：0152=2024=t℃，℃，=6,=℃，代入求出ln86k，然后对第一次冷却，代入公式，求出初始温度.【详解】第二次冷却：0152=2024=t℃，℃，=6,=℃，即624205220ke，解得：ln86k；第一次冷却：0==5220t℃，℃，=2,，即ln831522020e，解得：14=8℃；故选：C.【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围；(3)可以建立多个函数模型时,要对每个模型计算,进行比较,选择最优化模型．9．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为lnxxx的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为(素数即质数，10.43429ge，计算结果取整数)A．1089B．1086C．434D．145【答案】B【分析】由题意可知10000以内的素数的个数为1000010000ln10000，计算即可得到答案.【详解】由题可知小于数字x的素数个数大约可以表示为lnxxx，则10000以内的素数的个数为1000010000ln10000=100004ln10=10000lg4e=2500lg0.4342925001086e，故选B.【点睛】本题考查对数运算性质的简单应用，考查学生的审题能力.10．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武.已知火箭的最大速度v（单位：km/s）和燃料质量M（单位：kg），火箭质量m（单位：kg）的函数关系是：2000ln1Mvm，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考数值为ln20.69；ln1014.62）（）A．13.8B．9240C．9.24D．1380【答案】B【分析】根据已知数据和函数关系式直接计算．【详解】3100002000ln12000(ln101)20004.629240km/s3100v，故选：B.【点睛】本题考查函数的应用，属于基础题．11．为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数为N0，平均每个病人可传染给K个人，平均每个病人可以直接传染给其他人的时间为L天，在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位：天)的关系式为N(t)=N0(1+K)t，若N0=2，K=2.4，则利用此模型预测第5天的病例数大约为（）(参考数据：log1.4454≈18，log2.4454≈7，log3.4454≈5)A．260B．580C．910D．1200【答案】C【分析】首先根据题意得到555212.423.4N，再根据参考数据求解即可.【详解】555212.423.4N，因为3.4log4545，所以53.4454，所以5523.42454908910N.故选：C12．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法、干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未，申、西、戌、亥为地支.把